- •2.2 Диференційні рівняння рівноваги рідини (рівняння Ейлера)
- •2.3 Основні рівняння гідростатики
- •2.4 Основні види тиску
- •2.5 Характерні площини у рідині, що знаходиться у спокої
- •2.6 Закон розподілу тиску в газах
- •2.7 Відносний спокій рідини
- •2.8 Сила тиску рідини на плоскі поверхні
- •2.9 Сила тиску на плоске дно резервуара. Гідростатичний парадокс
- •2.10 Сила тиску рідини на криволінійну поверхню
- •2.11 Закон Архімеда
- •2.12 Основи теорії плавання тіл
2.11 Закон Архімеда
Розглянемо тіло довільної форми, занурене в рідину (рисунок 2.20).
Рисунок 2.20
Визначимо сили тиску рідини на це тіло. Горизонтальні та вертикальні сили, що діють на тіло, визначають як сили, що діють на криволінійні поверхні. Тоді - горизонтальна сила, що діє на тіло зліва, - горизонтальна сила, що діє на тіло справа.
Оскільки площі вертикальних криволінійних поверхонь САД і СВД дорівнюють одна одній, а центри їхньої ваги занурені на однакову глибину
, .
Якби ця рівність не зберігалася, тіло вийшло б зі стану рівноваги і почало б рухатися горизонтально.
Вертикальні сили тиску на криволінійній поверхні АДВ і АСВ визначають як сили ваги тіл тиску, опертих на ці поверхні.
Вертикальна складова сили тиску на поверхню АДВ діє зверху донизу і дорівнює
.
Для поверхні АСВ вертикальна складова сили тиску діє знизу вгору і дорівнює
.
Результуюча сила
.
Отже на тіло, яке міститься в рідкому середовищі, діє сила, що напрямлена вгору і дорівнює вазі рідини, витісненою тілом. Цю силу називають архімедовою або виштовхувальною:
, (2.49)
де - об’єм зануреного в рідину тіла.
Закон Архімеда: на занурене у рідину тіло діє виштовхувальна сила, яка напрямлена вертикально вгору, по величині дорівнює вазі рідини в об’ємі зануреного тіла та прикладена в центрі ваги цього об’єму.
Залежно від співвідношення ваги тіла і виштовхувальної сили можуть бути три варіанти стану тіла, зануреного в рідину:
а) якщо > - тіло потоне, бо рівнодійна сила напрямлена вниз;
б) якщо = - тіло перебуває у рівновазі на тій глибині, на яку воно занурено;
в) якщо < - тіло підніметься вгору.
Слід зауважити наступне. Якщо частина тіла почне підніматися над поверхнею води, об’єм води, який був виштовхнутий тілом, зменшиться, і від цього стане меншою сила . Коли дорівнюватиме , підняття догори закінчиться.
2.12 Основи теорії плавання тіл
На занурене в рідину тіло діють сила ваги тіла і сила тиску рідини на зовнішню поверхню тіла (рисунок 2.21).
Рисунок 2.21
Сила ваги прикладена в центрі ваги тіла (точка С) і напрямлена вниз:
.
Сила тиску рідини на зовнішню поверхню тіла прикладена в центрі ваги витисненого об’єму рідини (точка Д):
.
Вагу рідини, яку витісняє тіло, називають водотоннажністю . Центр ваги маси рідини в об’ємі зануреної частини тіла (точка прикладання сили ) називають центром водотоннажності (точка Д).
Отже, точка С – центр ваги всього твердого тіла, зануреного в рідину; точка Д – центр ваги маси рідини в об’ємі зануреної частини тіла. Частіше всього точки С і Д не збігаються між собою.
Здатність тіла плавати у зануреному або частково зануреному стані при певній вазі називають плавучістю. Умови плавання визначаються співвідношенням ваги тіла і виштовхувальної сили . Сили і утворюють пару сил, яка діє на тіло:
.
Залежно від співвідношення ваги тіла і виштовхувальної сили можуть бути три варіанти стану зануреного в рідину тіла:
а) якщо > 0, тобто > - тіло піднімається вгору;
б) якщо < 0, тобто < - тіло тоне;
в) якщо = 0, тобто = - тіло знаходиться в рівновазі на тій глибині, де наступає цей баланс сил.
Питома величина сумарної сили, яка діє на тіло
.
Якщо тіло повністю занурено в рідину ( ), тоді
.
Здатність плаваючого тіла повертатися в стан рівноваги після припинення дії відхиляючої сили називають остійністю.
Внаслідок дії на плаваюче тіло відхиляючої сили центр ваги тіла С не змінить свого положення, а центр водотоннажності Д переміститься в інше положення (рисунок 2.22).
Рисунок 2.22
Можуть бути два варіанта стану плаваючого тіла: перший - тіло втрачає рівновагу і тоне, другий - тіло відновлює стан рівноваги. Для остійного плавання тіла, повністю зануреного в рідину, необхідно, щоб центр ваги тіла С знаходився нижче центра водотоннажності Д. Тому, якщо внаслідок дії відхиляючої сили виникає поновлюючий момент - плавання остійне, якщо внаслідок відхиляючої сили виникає перекидний момент - плавання неостійне.
Розглянемо випадок, коли тіло плаває у частково зануреному стані (рисунок 2.23).
Рисунок 2.23
Основні визначення для частково зануреного тіла:
а) площина плавання – це площина вільної поверхні;
б) вісь плавання – це лінія, що з’єднує центр ваги тіла С і центр водотоннажності Д, коли тіло знаходиться у рівновазі;
в) ватерлінія – це лінія перетину площини плавання і бічної поверхні плаваючого частково зануреного тіла;
г) метацентр – це точка перетину вісі плавання і лінії дії виштовхуючої сили (точка М);
д) метацентричний радіус – це відстань між метацентром М і центром водотоннажності Д (відстань rм);
е) ексцентриситет - це відстань між центром ваги С і центром водотоннажності Д (відстань е);
ж) метацентрична висота – це різниця між метацентричним радіусом rм і ексцентриситетом е (відстань ):
.
Якщо метацентр М розташований вище центра ваги С, то тіло намагається відновити початкове положення (плавання остійне) (рисунок 2.23 а).
Якщо метацентр М розташований нижче центра ваги С, то сили і будуть намагатися перекинути тіло (плавання неостійне) (рисунок 2.23 б).
При остійному плаванні > е, а при неостійному - < е. Відповідно: при остійному плаванні > 0, при неостійному - < 0 ( ).
Метацентричний радіус rм визначають за формулою
, (2.50)
де - момент інерції площини плавання відносно вісі О-О¢;
- об’ємна водотоннажність (об’єм тіла, зануреного в рідину).
Тоді метацентричну висоту визначають за формулою
. (2.51)
Аналіз взаємного розташування центра ваги, центра водотоннажності та метацентра приводить до таких можливих випадків:
а) при положенні центра ваги нижче центра водотоннажності тіло, що вільно плаває, буде завжди остійним;
б) при положенні центра ваги вище за центр водотоннажності тіло буде остійним, якщо метацентр розташований вище від центра ваги;
в) у цілком зануреного тіла при нахиленні центр водотоннажності не буде переміщуватися, тому внаслідок незмінності форми зануреного об’єму метацентр суміститься з центром водотоннажності. В цьому випадку умова остійності виконується тільки при розташуванні центра ваги нижче від центра водотоннажності.