2.9 Сила тиску на плоске дно резервуара. Гідростатичний парадокс

Розглянемо випадок, коли плоска поверхня, на яку тисне рідина, розташована горизонтально (рисунок 2.16).

Рисунок 2.16

Сила тиску в цьому випадку

_.

Враховуючи, що в даному випадку дорівнює  , маємо

. (2.45)

Тобто сила тиску на плоске дно не залежить від форми стінок резервуару, а залежить лише від висоти гідростатичного напору і площі дна .

На рисунку 2.17 зображені резервуари різної форми, але з однаковою площею дна і висотою гідростатичного напору ( ; ).

Рисунок 2.17

Для всіх резервуарів, зображених на рисунку 2.17, сила тиску на дно резервуара буде однаковою (згідно рівняння (2.45)). Однак вага рідини в резервуарах буде різною. Таке явище називають гідростатичним парадоксом.

Необхідно розрізняти дві сили – силу тиску рідини на дно резервуару і силу тиску дна резервуару на опору (вага рідини в резервуарі). Різниця між силами тиску на дно резервуара і реакціями опор урівноважується вертикальними складовими сил тиску на плоскі стінки резервуарів.

2.10 Сила тиску рідини на криволінійну поверхню

При визначенні сили тиску рідини на криволінійну поверхню точка прикладення цієї сили та її напрям заздалегідь невідомі, бо в кожній точці тиск буде перпендикулярний (нормальний) до цієї поверхні.

Для криволінійних поверхонь елементарні сили тиску, залишаючись нормальними відносно відповідної площадки, вже не будуть паралельними між собою. В загальному випадку вони утворюють систему сил як завгодно розміщених у просторі, розрахунок їх зводиться до визначення головного вектора сил. Тому для визначення сили тиску на криволінійну поверхню передусім треба визначити три її складові, що паралельні координатним осям.

На практиці криволінійні поверхні часто є циліндричними. У цьому випадку доцільно розмістити систему координат так, щоб вісь ОУ була паралельною твірній циліндричної поверхні.

Розглянемо довільну криволінійну поверхню АВСД нескінченно малої товщини, на яку з двох боків діє рідина, і виділимо елементарну площадку (рисунок 2.18).

Надлишковий тиск в точці на площадці

,

де - глибина занурення точки, розміщеної в центрі площадки, яку відкладено від п’єзометричної площини.

Рисунок 2.18

Сила тиску на елементарну площадку

.

Розкладуючи тиск, спрямований по нормалі до поверхні стінки, на складові, отримаємо

,

.

Інтегруючи по всій поверхні криволінійної стінки, матиме

,

.

Вираз є об’ємом вертикального стовпця рідини висотою , який спирається на площадку . Інтеграл цього виразу є об’ємом всього вертикального стовпця рідини, який спирається на криволінійну поверхню й обмежується п’єзометричною площиною. Такий стовпець називають тілом тиску. Тому

, (2.46)

де - об’єм тіла тиску.

Вираз дорівнює добутку проекції площі криволінійної поверхні на глибину занурення центра ваги цієї проекції . Тобто

. (2.47)

Рівнодійна сила тиску

. (2.48)

Для практичних розрахунків важливо вміти визначати тіло тиску. На рисунку 2.19 наведені деякі характерні випадки.

Рисунок 2.19

Якщо тіло тиску заповнене рідиною (рисунок 2.19 а), його називають дійсним. Якщо тіло тиску заповнене рідиною умовно (рисунок 2.19 б, в), його називають фіктивним.

Тіло тиску для випадку, зображеному на рисунку 2.19 в, визначають як суму тіл тиску на кожну частину криволінійної поверхні (АВ і ВС) з відповідними знаками.

Об’єм тіла тиску – це об’єм між криволінійною поверхнею, п’єзометричною площиною і вертикальними проектуючими площинами.

Вертикальна складова сили тиску прикладена в центрі ваги об’єму тіла тиску. Напрямок вертикальної складової сили тиску залежить від того, на якої поверхні побудовано об’єм тіла тиску. Якщо об’єм тіла тиску побудований із змоченої сторони криволінійної поверхні, вертикальна складова сили тиску напрямлена вниз (рисунок 2.19 а). Якщо об’єм тіла тиску побудований із незмоченої сторони криволінійної поверхні, вертикальна складова сили тиску напрямлена вгору (рисунок 2.19 б). Горизонтальна складова сили тиску прикладена в центрі тиску вертикальної проекції (або в центрі ваги епюри тиску).

Повна сила тиску на криволінійну поверхню є геометричною сумою сил і . Для криволінійних поверхонь, які симетричні відносно вертикальної площини, повна сила тиску рідини визначається за формулою

.

Точка прикладення повної сили тиску визначається з умов рівноваги криволінійної поверхні. Тобто

.

Напрям рівнодійної сили тиску характеризується кутом нахилу її до горизонту:

.