- •2.2 Диференційні рівняння рівноваги рідини (рівняння Ейлера)
- •2.3 Основні рівняння гідростатики
- •2.4 Основні види тиску
- •2.5 Характерні площини у рідині, що знаходиться у спокої
- •2.6 Закон розподілу тиску в газах
- •2.7 Відносний спокій рідини
- •2.8 Сила тиску рідини на плоскі поверхні
- •2.9 Сила тиску на плоске дно резервуара. Гідростатичний парадокс
- •2.10 Сила тиску рідини на криволінійну поверхню
- •2.11 Закон Архімеда
- •2.12 Основи теорії плавання тіл
2.6 Закон розподілу тиску в газах
Закон розподілу тиску в газах залежить від висоти стовпа газу.
Так, при малій висоті стовпа газу можна прийняти густину незмінної за величиною ( ). Тоді
.
Після інтегрування маємо
. (2.21)
При великих висотах стовпа (сотні і тисячі метрів) густина не є сталою величиною ( ) і залежить від тиску і температури ( ).
У випадку ізотермічної атмосфери ( ) згідно закону Бойля-Маріотта
.
Тоді
.
Звідси
.
Тоді
.
Звідси
.
Після інтегрування маємо
(2.22)
Звідси
,
або
.
Тоді
. (2.23)
Раніше в (2.22) було здобуто
.
Тоді для двох різних висот і можна скласти рівняння
,
.
Звідси дістаємо
. (2.24)
Рівняння (2.24) називають барометричною формулою і використовують для визначення різниці висот по відомим тискам на цих висотах.
Позначимо різницю через h, тоді рівняння (2.24) можна записати
. (2.25)
Тобто на малих висотах поблизу поверхні Землі тиск у газах розподіляється лінійно, на великих висотах (сотні і тисячі метрів від поверхні Землі) тиск у газах розподіляється еквіпотенціально (рисунок 2.10).
Рисунок 2.10
2.7 Відносний спокій рідини
Якщо на рідину, яка міститься в резервуарі, діють крім сил тяжіння ще і деякі інші масові сили, то такий стан рідини називають відносним спокоєм.
Розглянемо деякі приклади:
а) рідина міститься у цистерні (бензобаку), яка рухається горизонтально з прискоренням (рисунок 2.11).
Рисунок 2.11
Треба врахувати, що на цистерну діє сила з прискоренням ( ), а на рідину діє сила інерції з прискоренням мінус ( ). Тоді на рідину діють одиничні сили , , .
Складемо диференціальне рівняння рівноваги рідини в цистерні. Відомо, що , на вільній поверхні рідини - . Тоді
. (2.26)
Після інтегрування маємо
.
Для вільної поверхні , . Тоді
.
Звідси
. (2.27)
Рівняння (2.27) показує, що вільна поверхня рідини в цистерні є площиною з кутом нахилу . Якщо > 0, то < 0 і навпаки: якщо < 0, то > 0. Тобто при зменшенні швидкості руху вільна поверхня рідини буде нахилена в протилежний бік.
Розглянемо розподіл тиску в рідині у цистерні:
.
Після інтегрування маємо
. (2.28)
Якщо , , , маємо
.
Звідси
. (2.29)
Підставляючи (2.29) в (2.28), дістаємо
. (2.30)
Рівняння поверхонь рівного тиску має вигляд:
; (2.31)
б) резервуар з рідиною рухається з прискоренням у вертикальному напрямку.
В даному випадку на рідину діють сила тяжіння і сила інерції . Проекції на осі координат рівнодійної сили будуть , , (рисунок 2.12).
Рисунок 2.12
В даному випадку на рідину діють сила тяжіння і сила інерції . Проекції на осі координат рівнодійної сили - , , . Тоді диференціальне рівняння розподілу тиску в рідині набирає вигляду
.
Після інтегрування маємо
.
Якщо , , тоді
.
Звідси
.
Тоді
.
Остаточно:
. (2.32)
Якщо , можна записати:
. (2.33)
Проаналізуємо вираз (2.33):
1) якщо , тоді ( глибина занурення відносно вільної поверхні);
2) якщо < 0, тоді ;
3) якщо , тоді . Це випадок, коли вага відсутня(невагомість).
Для поверхонь рівного тиску
.
Тобто
,
або
;
в) рідина міститься в циліндрі, що обертається навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю (рисунок 2.13).
Рисунок 2.13
В даному випадку на рідину діють відцентрова сила інерції та сила тяжіння. Тому , , . Диференціальне рівняння рівноваги рідини
.
Для даного випадку
,
або
.
Після інтегрування маємо
.
Якщо , , тоді
.
У випадку , маємо
.
Тоді
.
Враховуючи, що , , , дістаємо
. (2.34)
Рівняння вільної поверхні рідини в циліндрі як поверхні однакового тиску набирає вигляду
.
Після інтегрування маємо
,
або
. (2.35)
Тобто у цьому випадку поверхня однакового тиску є параболоїд обертання.
На вільній поверхні , тоді
,
або
. (2.36)
Максимальне підвищення рідини в циліндрі буде при , тоді
. (2.37)
В цьому випадку тиск на стінки циліндра
. (2.38)
Якщо вісь обертання горизонтальна, на рідину будуть діяти сили , , . Тоді тиск на стінки циліндра
, (2.39)
або
. (2.40)
При значних швидкостях обертання циліндра тиск на його стінки дуже великий. Це використовують в фрікційних муфтах, де для з’єднання необхідно забезпечити значні сили нормального тиску, та в технологічному процесі відцентрового лиття.