6. Графики экспериментальных зависимостей (практические рекомендации)

1. Если Вы решили построить график зависимости у(х), то первое, что надо решить – это: какая переменная является независимой, а какая выполняет подчиненную роль, то есть является зависимой. Независимая откладывается на оси абсцисс, подчиненная на оси ординат. Или другими словами, причина – на оси абсцисс, а следствие – на оси ординат. Путать причину и следствие – не в интересах Вашей репутации.

Например, если Вы строите зависимость Т(t) температуры Т от времени t, то время t должно откладываться на абсциссе, а температура Т - на ординате. Если поступить наоборот, то любой читатель Вашего графика подумает, что Ваш график зависимости t(T) - развитие теории относительности Эйнштейна: влияние температуры Т на ход времени t.

Но переменные (х,у) могут и не соотноситься как причина и следствие. Такие связи у(х) или х(у) в математической статистике называют корреляционными. И если Вы нашли для такой связи уравнение регрессии, и построили его график, то и не надо называть его графиком зависимости у(х) или х(у). Применяются более осторожные выражения: регрессия х на у; регрессия у на х.

2. Второй повод для размышлений - разумный выбор масштаба для каждой переменной и нанесения шкалы на каждую из координатных осей. Шкала должна быть равномерная и удобная, как на школьной линейке.

НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО, ЧТОБЫ ШКАЛА НАЧИНАЛАСЬ С НУЛЯ.

Пример. Исследовалась зависимость у(х), и независимая переменная х в таблице наблюдений имела наименьшее значение 3,28 ед., а наибольшее – 3,82. Тогда для оси абсцисс можно рекомендовать равномерную шалу диапазона [3;4].

Пусть при этом переменная у принимала в таблице наблюдений значения от наименьшего 0,22 до наибольшего 0,88, и к тому же значение у = 0 актуально (например, это значение вероятности или относительной частоты). Тогда для переменной у можно рекомендовать равномерную шкалу диапазона [0;1].

С учетом наших предложений, система

координат принимает следующий вид:

Рис. 3

Такая система координат может занимать такую площадь, как показано на рисунке 3, а может быть - во весь фасад административного корпуса СПбГПМА. Все будет зависеть от того, сколько миллиметров или сантиметров будет соответствовать одному делению горизонтальной шкалы и одному делению шкалы вертикальной. Но в обоих случаях будущий график будет занимать всю отведенную ему площадь, а не ее малую часть.

3. Может оказаться, что величина, откладываемая на оси графика, меняется в очень широком диапазоне. Очень часто так обстоит дело с частотой колебаний, и если частота в ходе эксперимента принимает значение от нескольких герц до нескольких мегагерц, то равномерная шкала на координатной оси неприемлема: график пришлось бы строить на рулоне бумаги. В таких случаях при построении графика переходят от частоты υ к десятичному логарифму частоты lgυ, но так, что логарифмируется только количество герц, а единица измерений (Гц) не логарифмируется. Если частота изменяется от 1 до 10 ⁶ Гц, то, учитывая, что lg1 = 0; lg10 = 1, lg100 = 2….lg10⁶ = 6, мы получаем для значений 1,10,100,1000….10⁶ удобную равномерную шкалу lgυ:

0 1 2 3 4 5 6 lgυ

Рис. 4

Но в промежутках между целочисленными делениями на рисунке 4 логарифмическая шкала все же будет не равномерная! Это можно почувствовать по следующей таблице:

Таблица 6

υ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
lgυ	0	0.30	0.48	0.60	0.70	0.78	0.84	0.90	0.95	1

Так что в промежутках шкалы рисунка 4 между 0 и 1; 1 и 2;….; 5 и 6 десятые доли величины lgυ следует откладывать, пользуясь построенной по таблице 6 неравномерной шкалой; в увеличенном масштабе она выглядит так:

Рис. 5

На рисунке 5 показан участок шкалы 4 с подробным разбиением интервала от 1 до 2. Верхний ряд чисел – значения частоты υ, соответствующие этому разбиению.

Для закрепления: вот как выглядит интервал шкалы 4 с подробным разбиением интервала от 4 до 5 (рисунок 6)

Рис. 6

Проблем с построением (и использованием) равномерно-неравномерной логарифмической шкалы будет гораздо меньше, если пользоваться услугами магазинов канцтоваров. В них можно найти:

- обычную миллиметровку (надо брать!)

- полулогарифмическую миллиметровку (по одной оси логарифмическая шкала, по другой – обычная) – полезно иметь

- логарифмическую миллиметровку (по обоим осям - логарифмическая шкала, но такая бумага Вам не потребуется).

4. Решив все вопросы с выбором и построением системы координат, не забудьте на каждой из координатных осей указать обозначение откладываемой переменной величины и единицы ее измерений, соответствующей этой шкале. Без этой информации Ваш будущий график – не читаемый.

5 . Обращаем внимание: на рисунке 3 и на всех последующих координатные оси показаны без стрелок. Так получилось не по забывчивости автора, а следуя современным требованиям оформления графиков: стрелки устарели, подобно тому, как вместо 5 сек принято писать 5с. Направление возрастания величины, откладываемой на шкале, легко определить, пробежав глазами нанесенные на нее числа. Наличие стрелок на координатных осях может быть воспринято как нарушение правил оформления, с возвратом материалов на доработку.

6. Никто не сомневается, что по двум координатам (х;у) Вы в состоянии построить точку в плоскости графика. Пунктирные построительные линии не требуются.

Зато сама точка должна быть отчетлива, хорошо заметна. Она может быть жирной точкой, или центром кружочка, или треугольничка, или помечена крестом.

Если на одном графике наносятся точки разных серий эксперимента, или данные разных авторов, и т.п., то и точки, соответствующие разным группам данных, должны выглядеть по-разному.

Обозначение точки на графике может быть не просто значком, а источником информации о точности измерений.

На рисунке 8 точки не просто обозначены крестами: размеры крестов соответствуют границам доверительных интервалов для измеренных значений х и у. И сразу видно, что хотя точки (центры крестов) оказались вне усредняющей кривой, но все же кривая проходит в пределах доверительных интервалов, т.е. хорошо соответствует всей совокупности точек.

Рис. 7 Рис. 8

На рисунке 7 доверительные интервалы указаны только для результатов измерений переменной у. И этого достаточно, если точность измерений величины х обеспечивалась на гораздо более высоком уровне, чем величины у.

Построения, подобные рис. 7 и 8, требуют дополнительного анализа экспериментальных данных, и в отчетах по лабораторным работам не обязательны.

Непосредственно на графике или под ним могут быть обозначения и поясняющие надписи. Например: 1 – до лечения, 2 – после курса лечения. Общий принцип: стремитесь быть понятым.

7. Как надо и как не надо проводить линии (кривые или прямые) на графике, обсуждалось в параграфе 5: не «от точки к точке», а как усредняющие.