5. Графическая форма представления экспериментальных данных
Если зависимость у(х) задана математической формулой, то для построения графика этой зависимости задаются рядом значений переменной х: х1,х2,х3….хn, и для них вычисляются соответствующие значения у1,у2,у3…..уn. Все эти данные сводятся в таблицу следующего вида:
Таблица 5
Значения хi |
х1 |
х |
……………… |
хn |
yi = f(xi) |
y1 |
y2 |
|
yn |
Если же зависимость у(х) исследуется экспериментально, то такая же, по сути, таблица заполняется как протокол наблюдений, а значения хi и соответствующие им значения уi определяются с помощью измерительных приборов.
В обоих случаях каждой паре (xi,yi) соответствует точка на плоскости графика у(х). При построении графика математической зависимости у(х), линия графика ВСЕГДА проходит через все точки (xi,yi). При построении экспериментальных зависимостей у(х) линия графика проводится через нанесенные точки НЕКОТОРЫМ НАИЛУЧШИМ ОБРАЗОМ, так что некоторые точки оказываются вне линии графика.
Может показаться, что прохождение кривой мимо экспериментально полученных точек – неоправданная «вольность». Однако идеально точных измерений не существует, и любой результат измерений, будь то xi или yi, записанный Вами в таблицу экспериментальных данных, имеет «ореол неопределенности», который в курсе математической статистики называется ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ, так что каждой паре значений (xi,yi) объективно соответствует область:
Рис. 1
С некоторой вероятностью, экспериментальный результат (xi,yi) мог быть точкой не в центре заштрихованного прямоугольника, а в любом другом его месте: измерительные приборы могли отреагировать на i-e состояние исследуемого объекта несколько иначе!
На рисунке 2 приведены два подхода к проведению линии графика экспериментальной зависимости у(х): примитивный (А) и грамотный (Б)
Рис. 2
Рисунок 2А примитивен: линия графика проведена так, словно результаты всей серии из десяти экспериментов абсолютно точны (с нулевыми погрешностями). Так не бывает.
Рисунок 2Б более грамотен. Линия графика проведена компромиссно через все поле из десяти точек, так, что большие или меньшие погрешности измерений предполагаются возможными. Суммарные отклонения точек вверх и вниз от кривой зрительно равны, или близки к этому.
Кривая на графике 2Б была бы еще ближе к совершенству, если бы была проведена не по интуиции, а следуя МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. В этом методе условия компромисса, обсуждавшегося в предыдущем абзаце, конкретизируются. На рисунке 2Б показано отклонение ∆уi одной из точек от усредняющей кривой. Для этой точки ∆уi < О, но при возведении в квадрат ∆уi2 >O. В основе метода наименьших квадратов (МНК) – требование: линия графика должна проходить так, чтобы сумма квадратов отклонений всех точек была минимальной (наименьшей из всех возможных вариантов прохождения линии графика.)
Формулы для вычисления параметров уравнения линейной регрессии в курсе математической статистики соответствуют именно требованиям МНК.
И что? Если действовать, следуя МНК, то все проблемы правильного хода линий графика экспериментальной зависимости у(х) будут решены? Нет. Следуя МНК, можно провести через поле экспериментальных точек наилучшим образом прямую, а можно – параболу, или логарифмическую кривую, и т.п. И все они могут быть проведены, подчеркиваем, наилучшим образом, по МНК. Какой вариант выбрать?
Несколько возможных вариантов линии графика – это семейство гипотез о реальном природном ходе исследуемой зависимости у(х). В ответственных случаях обоснованное решение о выборе одной гипотезы из нескольких должно строиться на основе дополнительных экспериментальных данных; желательно, чтобы они были получены на аппаратуре, обеспечивающей более высокую точность измерений.