49. Эластичность выпуска. Предельные нормы замены ресурсов.

Отношение предельной производительности M_i i-го ресурса к его средней производительности А_i называется (частной) эластичностью выпуска по i-му ресурсу (по фактору производства) (ЭВФ). Символика:

Сумма Е₁ + Е₂ = Е_x называется эластичностью производства.

Е (приближенно) показывает, на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса 1 увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

Обратим внимание на то, что i - номер заменяемого ресурса, j -номер замещающего ресурса. Используется также термин: предельная технологическая норма замены (замещения) i-ого ресурса (фактора производства) j-м ресурсом (фактором производства). Приведем более краткий (но менее точный) термин: (предельная) норма замены (замещения) ресурсов.

Предельная норма замены i- ого ресурса j-ым называют величину Rij

Rij= df(x)/dx_{i :} df(x)/dx_j

50. Основные понятия при решении задачи оптимизации производства.

Доходом предприятия или выручкой называется произведение общего объема выпускаемой продукции на рыночную цену продукции: R = p₀*y₁, где R - это доход, p₀ – цена, y₁ – количество.

Издержки производства или затраты производства C = p₁х₁+p₂х_2, где p₁ и p₂ – цена, х₁ и х₂ – объемы использованных ресурсов.

Прибыль PR = R – C = p₀ – f(х₁х₂) – (p₁х₁+p₂х₂)

В теории фирмы Принято считать, что если фирма функционирует в условиях чистой конкуренции, то на рыночные цены (p₁ и p₂)она влиять не может. Фирма соглашается с рыночными ценами. Основная цель фирмы заключается в получении максимальной прибыли, путем рационального распределения использования ресурсов.

Формально задача max прибыли PR  max.

В случае долгосрочного промежутка предприятие может свободно выбирать любое количество используемых ресурсов, поэтому в случае долговременного промежутка задача max прибыли имеет следующий вид: PR (x₁x₂) = p₀(x₁x₂ - p₁х₁+p₂х₂) max, x_1,x₂ ≥0.

В случае кратковременного промежутка предприятие должно учитывать неизбежные ограничения на объемы используемых ресурсов, которые формально могут быть записаны в виде нелинейного неравенства у(x₁x₂) ≤ b следовательно задача max прибыли в краткосрочном виде имеет вид PR (x₁x₂) = p₀f(x₁x₂) - (p₁х₁+p₂х₂) max, x_1,x₂ ≥0.

Линия уровня издержек производства обозначается Z = p₁х₁+p₂х₂ , называется ИЗОКОСТОЙ.

Если x_1,x₂ ≥0, то изокоста это и есть отрезок прямой, которая находится в I четверти координатной плоскости, которая более удалена от начала координат, соответствует большим издержкам производства.

51 Максимизация прибыли в случае долговременного промежутка

В связи с тем, что, как правило, выполняется равенство f(х1,0)=f(0, х2)=0 экономически осмысленным является следующее утверждение, что х1>=0, x2>=0, поэтому в случае долговременного промежутка задача максимизации прибыли представляет собой обычную задачу на локальный абсолютный максимум при х1>0, х2>0.

Из мат. Анализа известно, что точка локального абсолютного максимума будет находится среди (х1, х2), которые удовлетворяют системе уравнений.

рисунок

Точка (х1, х2) является решением задачи максимизации прибыли. Она называется точкой локального рыночного равновесия п/п в случае долговременного промежутка.

Если подставить значение х1, х2 в систему уравнений, то получим верное тождество

рисунок

т.е. в точке (х1, х2) локального рыночного равновесия отношение предельной производительности первого ресурса к предельной производительности второго ресурса равно отношению рыночных цен на эти ресурсы.

Вся 4-х этажная дробь есть ни что иное как предельная норма замены первого ресурса вторым R₁₂ (х1, х2)

Само равенство выражает следующее фундаментальное положение:

в точке локального рыночного равновесия (х1, х2) предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению рыночных цен на эти ресурсы.

Проведем через точку (х1, х2) изокванту и изокосту.

Уравнение изокванты будет находится y=f(x1, x2) из уравнения ПФ, уравнение изокосты С₀=р₁х₁ + р₂х₂ будет находиться из уравнения издержек производства.

Графически решения задачи максимизации прибыли в случае долговременного промежутка будет являться точка касания изокванты и изокосты

рисунок

Поскольку х1, х2 зависят от рыночных цен на спрос и предложение (р₀, р₁, р₂), то можно записать:

Х₁=q₁(р₀, р₁, р₂), Х₂=q₂(р₀, р₁, р₂) – функции спроса на ресурсы

Значение этих функций выражают оптимальный выбор затрат ресурсов как функции цены, выпускаемой продукции и цен на ресурсы.

Если подставить функции спроса на ресурсы в ПФ y=f(x1, x2), то получим выражение у = f(q₁(р₀, р₁, р₂), q₂(р₀, р₁, р₂))=S(р₀, р₁, р₂)

Данная функция называется функцией предложения выпуска.

Функции спроса на ресурсы и функции предложения выпуска являются однородными нулевой степени.