20. Уравнение неразрывности

 Учитывая, что

1. проникновение жидкости через боковую поверхность невозможно (т.к. поверхность образована линиями тока)

2. жидкость несжимаема

3. жидкость является сплошной средой (отсутствуют разрывы) можно записать

u₁d ₁dt = u₂d ₂dt Q = const \

u₁/u₂ = d ₂/d ₁ v₁/v₂ =  ₂ /  ₁

21. Для элементарного параллелепипеда проекция силы инерции на ось X будет равна  dx dy dz du_x/dt т.е. произведение массы на ускорение. Уравнения равновесия были записаны через единичные массовые силы, поэтому уравнения движения можно представить следующим образом.

    Эти уравнения называются уравнениями Эйлера, а также уравнениями динамического равновесия.

    Данные уравнения справедливы для идеальной жидкости. При рассмотрении реальной жидкости требуется добавить силы вязкости. Полученная таким образом система уравнений носит название уравнений Навье – Стокса.

22. 24.

, ,

П олученное дифференциальное уравнение устанавливает взаимосвязь между силовой функцией, гидродинамическим давлением и скоростью в любом сечении элементарной. Учитывая что:

V

первое - удельную энергию положения; второе - удельную энергию гидродинамического трения.

Третье - удельную кинетическую энергию.

Сумма трех слагаемых является полной удельной энергией, т.е. напором.

С физической точки зрения уравнение Бернулли описывает частный случай закона сохранения энергии.

Геометрический смысл уравнения в том, что напорная плоскость горизонтальна.

23. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Падение напорной линии на единицу длины называется гидравлическим уклоном

Напорная линия всегда понижается.

Пьезометрическая линия м.б., как нисходящей, так и восходящей.

При постоянном диаметре напорная и пьезометрическая линии параллельны

25 Уравнение бернулли для потока реальнойжидкости

Перед тем, как записать уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости необходимо оговорить два момента. Поток жидкости отличается от элементарной струйки тем, что он имеет реальные размеры поперечного сечения, которые могут быть довольно значительных размеров. Распределение давлений и скоростей по сечению потока может быть неравномерным.

            Рассмотрим распределение давления. В плоскости перпендикулярной направлению движения, гидродинамическое давление распределяется по закону гидростатики. В связи с этим справедливо условие:

т.е. сумма отметки z и пьезометрической высоты  во всех точках сечения потока остается одинаковой, хотя меняется для различных сечений.

В связи с тем, что распределение местных скоростей U в плоскости сечения потока неравномерно и в большинстве случаев неизвестно, то возникают трудности с определением кинетической энергии потока, т.е. с третьим слагаемым в уравнении Бернулли . Поэтому вводим корректирующий коэффициент ±, представляющий собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости в сечении. Корректив ± называется коэффициентом кинетической энергии потока или коэффициентом Кориолиса, и отражает неравномерность распределения местных скоростей по сечению потока.

            Для наиболее распространенных случаев движения жидкости значения ± следующее: при ламинарном движении в круглой трубе ± = 2, при турбулентном – зависит от режима и принимает значение ± = 1,1 1,3. Обычно ± определяют опытным путем.

С учетом вышесказанного, уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости может быть записано в виде:        

где Uср1, и Uср2 – средние скорости в сечениях 1 и 2;

 – потери энергии на преодоление сопротивлений между сечениями 1 и 2.

Уравнение Бернулли устанавливает связь между скоростью движения, давления и геометрическим положением любой точки сечения потока, для которого это написано.

Рассмотрение энергетической и геометрической интерпретации уравнения Бернулли

            С энергетической точки зрения уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии и представляет удельную энергию, отнесенную к единице веса жидкости и подсчитанную относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости. Такая удельная энергия потока состоит из удельной потенциальной энергии  где z – энергия положения,  - энергия давления, и удельной кинетической энергии потока . С теоретической точки зрения потери энергии  на преодоление сопротивления безвозвратно теряются для потока, т.е. часть механической энергии превращается в тепловую.

С геометрической точки зрения в уравнение Бернулли входят следующие линейные величины:

Рис. 5.2

z – геометрическая высота положения (геометрический напор);

  или   пьезометрическая высота, отвечающая гидродинамическому давлению р;

 в каждом сечении называется пьезометрическим (при р=ризб) или гидростатическим напором;

 - скоростной напор;

0 – гидродинамический или полный напор;

- потеря напора на преодолении сопротивлений.

Геометрическое место точек верхних концов отрезка суммы   называется пьезометрической линией Н (на рис.5.2 показана штриховкой). Изменение пьезометрической линии на единицу длинны поток называется пьезометрическим уклоном ip.

            Геометрическое место точек верхних концов отрезков суммы   называется напорной линией  или линией удельной энергии Но (на рис.5.2 показана сплошной линией), которая для потока идеальной жидкости т.е. без потерь энергии, будет горизонтальной. При движении вязкой жидкости изменение напорной линии на единицу длинны потока называется гидравлическим уклоном