Билет 20
1)Проводник - это тело, внутри которого содержится достаточное количество свободных электрических зарядов, способных перемещаться под действием электрического поля. В проводниках возможно возникновение электрического тока под действием приложенного электрического поля. Все металлы, растворы солей и кислот, влажная почва, тела людей и животных - хорошие проводники электрических зарядов
Диэлектрик
— вещество, плохо проводящее или совсем не проводящее электрический ток. Концентрация свободных носителей заряда в диэлектрике не превышает 108 см−3. Основное свойство диэлектрика состоит в способности поляризоваться во внешнем электрическом поле.
Электростатика проводников
Говоря о проводниках (и далее о диэлектриках) мы должны отдавать себе отчет в том, что выходим за рамки собственно электромагнитной теории. Проводник или диэлектрик — это противное, грязное, нелинейное вещество. Хотя раздел физики, изучающий электромагнитные свойства вещества и называют “электродинамикой сплошных сред”, все же это больше наука о свойствах вещества, нежели ЭМ поля, и в этом смысле он скорее относится к молекулярной теории. К счастью, можно предложить достаточно простую, но вместе с тем реалистичнуюм одель вещества, которая позволит нам сконцентрироваться в основном на свойствах ЭМ поля. Модель проводника в электростатике формулируется так: электрическое поле внутри проводника равно нулю. Прежде всего мы замечаем, что искать поле во всем пространстве нам уже не нужно, достаточно найти поле вне проводников. Однако на поверхности проводников должны быть выполнены некоторые граничные условия. Поскольку граничные условия играют большую роль при использовании уравнений в частных производных, мы остановимся на них подробно.
2)
21--
Векторный потенциал магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля
Из теоремы Гаусса для векторного поля в дифференциальной форме (3.28) следует, что поле можно представить в виде ротора вспомогательного векторного поля , называемого векторным потенциалом: (1) поскольку . Физический смысл в магнитостатике приписывают векторному полю , поэтому векторный потенциал, вообще говоря, определен с точностью до градиента любой скалярной функции. Действительно, если , где - скалярное поле, и , то имеем:
, то есть для , поскольку .
Произвол в определении векторного потенциала можно использовать, потребовав дополнительно выполнения условия (2)
Условие (3.35) называют "кулоновской калибровкой векторного потенциала магнитного поля".
Условие (3.35) влечет за собой далеко идущие последствия, поэтому весьма важным является вопрос, во всех ли случаях магнитное поле обладает указанными свойствами.
Из соотношений (3.2) и (3.4) следует, что магнитное поле, образованное отдельным точечным электрическим зарядом , движущимся со скоростью , имеет вид:
. |
(3.36) |
Векторный потенциал такого поля описывается выражением:
. |
(3.37) |
В современной магнитостатике не существует методики вывода выражения (3.37), его необходимо просто угадать, но зато можно проверить:
. |
(3.38) |
Сравнивая между собой выражение (3.37) для векторного потенциала и выражение для скалярного потенциала электростатического поля отдельного точечного электрического заряда
, |
(3.39) |
получаем зависимость:
. |
(3.40) |
Зависимость (3.40) имеет глубокий физический смысл: закон Кулона и закон Ампера являются внутренне связанными между собой, не надо думать, что они полностью независимы друг от друга.
Из соотношений (3.39) и (3.37) можно получить:
|
(3.41) |
,
|
(3.42) |
,
где
-
объемная плотность электрического
заряда,
-
вектор объемной плотности тока,
-
элемент объема. Обращает на себя внимание
идентичность форм записи выражений
(3.41)
и (3.42),
особенно, если последнее рассматривать
в координатной форме.
Но
если для потенциала электростатического
поля
справедливо
уравнение Пуассона
|
(3.43) |
,
то
для поля векторного потенциала
должно иметь место аналогичное уравнение:
|
(3.44) |
.Формально:
|
(3.45) |
.Если при этом выполнено условие (3.35), то из уравнения (3.44) следует второе фундаментальное свойство магнитного поля:
|
(3.46) |
.Покажем, что условие (3.35) действительно выполняется. Из выражения (3.42) следует:
|
(3.47) |
,
где
-
объем, в котором текут токи с объемной
плотностью
.
В выражении (3.47)
штрихованные переменные описывают
место расположения элемента тока
,
а не штрихованные - положение точки
наблюдения. Величина
,
при заданной конфигурации токов она
зависит от координат точки наблюдения.
Дивергенцию векторного поля следует вычислять по координатам точки наблюдения:
|
(3.48) |
.Формально
,
где
операция
выполняется
по штрихованным переменным. Полученное
справа выражение по форме сложнее, но
имеет два преимущества. Первое из них
состоит в возможности воспользоваться
уравнением сохранения электрического
заряда в условиях магнитостатики:
|
(3.49) |
,благодаря чему второе слагаемое в правой части просто обращается в нуль. Второе преимущество состоит в возможности преобразовать объемный интеграл в поверхностный по теореме Остроградского-Гаусса. В итоге имеем:
|
(3.50) |
.
При
расчете величины
необходимо
учитывать вклад всех токов, текущих в
объеме
,
ограниченном замкнутой поверхностью
.
Эти токи не могут пересечь поверхность
,
последнее означало бы возможность
накопления заряда вне объема
,
что недопустимо по условиям магнитостатики.
Это означает, что в каждой точке
поверхности
должно
выполняться условие
|
(3.51) |
,что приводит к результату (3.35).
|
|
2
1(2).Струм
зміщення.
Поширення електромагнітного поля
Максвел узагальнив закон повного струму
З
гідно
з теоремою Гауса для
електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню
дорівнює алгебраїчній сумі вільних
електричних зарядів всередині цієї
поверхні:
-
густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни
вектора електричного зміщення
в цій точці. Струмом
зміщення через довільну
поверхню називається фізична величина,
яка дорівнює потоку вектора густини
струму зміщення через цю поверхню .
Кола постійного струму мають бути замкнутими. Але для змінного струму виконання цієї умови не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки конденсатора електричний струм йде по провіднику, який з’єднує обкладинки і не проходить через діелектрик, тобто коло не замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких змінних струмів також замкнуті. Замкнутість таких мереж забезпечується струмами зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де немає провідників, наприклад між обкладинками конденсатора в процесі його зарядки чи розрядки.
Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Д
руге
рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості
магнітного поля по довільному нерухомому
контуру, уявно проведеному в
електромагнітному полі, дорівнює
алгебраїчній сумі макрострумів і струму
зміщення через поверхню контуру
Згідно з теоремою Стокса:
Друге рівняння Максвела в диференціальній формі