26. Диференціальне рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння першого порядку називається рівняння вигляду F(x, y, y′) = 0, яке пов’язує незалежну змінну x, невідому функцію y = y(x) та її похідну у′. Якщо це рівняння можна розв’язати відносно похідної у′, то маємо диференціальне рівняння першого порядку у вигляді: y′ = f(x,y).

Розв’язком диференціального рівняння першого порядку на інтервалі (a,b) називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка перетворює рівняння у тотожність по x на (a,b).

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння рівняння називається інтегруванням диференціального рівняння.

Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку в деякій областіD на площині xOy називається функція , яка задовольняє такі умови:

• функція є розв’язком диференціального рівняння при будь-якому значенні сталої C з деякої множини;

• для довільної початкової умови y(x₀) = y₀ такої, що (x₀, y₀) є D, існує єдине значення сталої С₀, при якому розв’язок задовольняє початкову умову.

Частинним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається функція , яка одержується із загального розв’язку фіксуванням деякого значення сталої.

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено у неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння Ф(x,y,C)=0, то такий розв’язок називається загальним інтегралом диференціального рівняння. Рівність Ф(x,y,C₀)=0 називається частинним інтегралом диференціального рівняння.

Задача Коші для диференціального рівняння першого порядку – це задача відшукання розв’язку цього рівняння, що задовільняє початкову умову y(x₀) = y₀.

Теорема Коші – Пікара (достатня умова існування та єдиності розв’язку задачі Коші). Якщо у диференціальному рівнянні першого порядку y′ = f(x,y) функція f(x,y) та її частинна похідна неперервна в області D на площині xOy, що містить деяку точку (x₀, y₀), то існує єдиній розв’язок цього рівняння , який задовольняє початкову умову y(x₀) = y₀.

Побудований на площині xOy графік деякого розв’язку диференціального рівняння першого порядку називається інтегральною кривою цього рівняння.

Особливим розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається такий розв’язок, у всіх точках якого умова єдиності не виконується, тобто в будь-якому околі кожної точки (x,y) особливого розв’язку існують принаймні дві інтегральні криві, що проходять через цю точку.

27. Лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтом

Лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами має вигляд.

Оскільки шукана функція y й її похідні входять у рівняння лінійно, розв’язок даного рівняння шукається у вигляді , тому що похідні показникової функції відрізняються від неї тільки постійним множником: . Підставивши в рівняння, одержимо:

Оскільки , а коефіцієнти a_i = const , то знаходження фундаментальної системи розв’язків рівняння зводиться до алгебраїчних операцій, а саме до розв’язання алгебраїчного рівняння n-го степеня:

Це рівняння називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння. Характеристичне рівняння як алгебраїчне рівняння n-го степеня має n коренів (дійсних або комплексних)

При розв’язуванні характеристичного рівняння можливі випадки:

1. Корені характеристичного рівняння – дійсні й різні, тоді диференціальне рівняння має n лінійно незалежних частинних розв’язків: . Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд:

2. Корені характеристичного рівняння дійсні, але серед них є кратні. Нехай дійсний корінь кратності k, інші корені характеристичного рівняння дійсні й різні. Тоді дійсному кореню λ кратності k відповідає k частинних лінійно незалежних розв’язків диференціального рівняння Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

3. Серед коренів характеристичного рівняння, крім дійсних, є й комплексно-спряжені, але немає кратних коренів. Нехай Цим комплексно-спряженим кореням відповідають два частинні лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння: Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд: