- •1.Лінійні функції однієї змінної
- •2.Лінійні функції багатьох змінних
- •3.Криві другого порядку на площині.
- •Визначники другого і третього порядків та їхні властивості
- •Визначники порядку n, властивості визначників
- •6. N вимірний векторний простір. Лінійна залежність векторів.
- •7. Система лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Канелі.
- •8. Метод гаусса
- •9. Алгебра матриць. Обернена матриця. Модель Леонтьєва
- •Модель Леонтьєва
- •12. Границя числової послідовності. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •13. Неперервність функцій, точки розриву, неперервність елементарних функцій.
- •14. Похідна функції, таблиця похідних, диференціал.
- •15. Наближені обчислення за допомогою диференціала. Похідні та диференціали вищих порядків.
- •16. До основних теорем диференціального числення належать теорема Ролля, Лагранжа, Коші, Лопіталя та Ферма.
- •21. Первісна та невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів.
- •22. Основні методи інтегрування
- •Інтеграція підстановкою
- •23. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •24. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •25. Невласний інтеграл
- •26. Диференціальне рівняння першого порядку
- •27. Лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтом
- •28. Числові ряди з невідємними членами
- •29. Знакозмінні ряди
Визначники другого і третього порядків та їхні властивості
називають визначником 3-го порядку.
Числа а11, а12,..., а33, що складають визначник, називаються елементами визначника.
Для позначення елементів визначника використовуються подвійні індекси: аij.
Перший індекс (i) визначає номер рядка, а 2-й (j) - номер стовпчика визначника.
Права частина рівності (1.2) обчислюється за такими схемами.
тобто елементи добутків (1.2), взяті з відповідно вказаними знаками, або з'єднані відрізками (головна і друга діагональ), або утворюють трикутники.
Правило Крамера
Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:
(1.4)
Теорема. Якщо головний визначник складений із коефіцієнтів при невідомих системи n лінійних рівнянь з n невідомими (1.4), відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який обчислюється за формулами:
,
де — головний визначник системи, який утворюється з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи (1.4);
— визначник, який утворюється заміною j-го стовпця в головному визначнику на стовпець вільних членів.
Визначники порядку n, властивості визначників
Означення. Визначником n-го порядку називається алгебраїчна сума n! Членів складена таким чином, що членами є всі можливі добутки n елементів взятих по одному в кожному рядку і кожному стовпчику, причому член береться зі знаком плюс якщо його індекси утворюють парну підстановку і зі знаком мінус у протилежному випадку.
Властивості:
Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті транспонування.
Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.
Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак зміниться на протилежний.
Властивість 4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.
Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то й визначник помножиться на С.
Властивість 6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.
Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.
Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.
6. N вимірний векторний простір. Лінійна залежність векторів.
Означення. Сукупність упорядкованих систем з n дійсних чисел, для яких визначено дії додавання і множення на число, утворює n-вимірний векторний простір Vn.
Елементами заданого таким чином простору будуть впорядковані системи чисел, які називатимемо n-вимірними векторами і записуватимемо: . Числа ai, i = 1, 2, 3, ..., n називаються компонентами вектора . Якщо розглянути ще один елемент простору Vn — вектор , то у просторі Vn можна виконувати такі дії.
Додавання двох векторів за правилом:
.
Множення вектора на число , за правилом:
.
Два вектори і вважаються рівними, якщо виконуються рівності . Роль нуля відіграє . З означень дій додавання і множення вектора на число випливають властивості:
Означення. Вектор називається лінійною комбінацією векторів , якщо існують такі числа , що .
Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа хоча б одне з яких відмінне від нуля, що виконується рівність
. (1.16)
Якщо рівність (1.16) можлива лише в разі, коли всі , то система векторів називається лінійно незалежною.
Будь-яка система векторів, що складається з більшої кількості векторів, ніж розмірність простору Vn, буде лінійно залежною.
Лінійно незалежна система n-вимірних векторів називається максимальною, або повною, лінійно незалежною системою, якщо в результаті додавання до неї будь-якого відмінного від n-вимірного вектора вона стає лінійно залежною.