7. Система лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Канелі.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) — в лінійній алгебрі це система лінійних рівнянь виду:

Це система m лінійних рівнянь з n невідомими, де

є невідомими,

є коефіцієнтами системи,

- вільними членами[1].

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь відіграють важливу роль у математиці, оскільки до них зводиться велика кількість задач лінійної алгебри, теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики, тощо, та областей фізики й техніки, де застосовуються ці математичні теорії.

Теорема Кронекера - Капеллі — критерій сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

СЛАР має розв'язки тоді і тільки тоді,коли ранг її матриці дорівнює рангу її розширеної матриці Причому система має єдине рішення, якщо ранг дорівнює числу невідомих і нескінченно багато рішень, якщо ранг менше числа невідомих.

НЕОБХІДНІСТЬ

Нехай СЛАР сумісна, тоді існує розв'язок: такі, що Тобто, стовпець є лінійною комбінацією стовпців матриці

Отже

ДОСТАТНІСТЬ

Нехай Візьмемо в матриці будь-який базисний мінор. Так як , то він буде базисним мінором і для матриці

Тоді згідно з теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриці буде лінійною комбінацією базисних стовпчиків, тобто стовпців матриці

Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці коефіцієнти такої лінійної комбінації і будуть розв'язком СЛАР.

8. Метод гаусса

Ме́тод Га́уса — алгоритм розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Початок алгоритму.

Алгоритм рішення СЛАР методом Гауса підрозділяється на два етапи.

• На першому етапі здійснюється так званий прямий хід, коли шляхом елементарних перетворень над рядками систему призводять до ступінчастою або трикутній формі, або встановлюють, що система несумісна. А саме, серед елементів першого стовпця матриці вибирають ненульовий, переміщують його на крайнє верхнє положення перестановкою рядків і віднімають вийшла після перестановки перший рядок з решти рядків, домножити її на величину, рівну відношенню першого елемента кожної з цих рядків до першого елементу першого рядка, обнуляючи тим самим стовпець під ним. Після того, як зазначені перетворення були здійснені, перший рядок і перший стовпець подумки викреслюють і продовжують поки не залишиться матриця нульового розміру. Якщо на якійсь із ітерацій серед елементів першого стовпця не знайшовся ненульовий, то переходять до наступного колонку і проробляють аналогічну операцію.

• На другому етапі здійснюється так званий зворотний хід, суть якого полягає в тому, щоб висловити все отримані базисні змінні через небазисних і побудувати фундаментальну систему рішень, або, якщо всі змінні є базисними, то виразити в чисельному вигляді єдине рішення системи лінійних рівнянь. Ця процедура починається з останнього рівняння, з якого висловлюють відповідну базисну змінну (а вона там всього одна) і підставляють в попередні рівняння, і так далі, піднімаючись по "сходинках" наверх. Кожному рядку відповідає рівно одна базисна змінна, тому на кожному кроці, крім останнього (самого верхнього), ситуація в точності повторює випадок останнього рядка.