- •1.Лінійні функції однієї змінної
- •2.Лінійні функції багатьох змінних
- •3.Криві другого порядку на площині.
- •Визначники другого і третього порядків та їхні властивості
- •Визначники порядку n, властивості визначників
- •6. N вимірний векторний простір. Лінійна залежність векторів.
- •7. Система лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Канелі.
- •8. Метод гаусса
- •9. Алгебра матриць. Обернена матриця. Модель Леонтьєва
- •Модель Леонтьєва
- •12. Границя числової послідовності. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •13. Неперервність функцій, точки розриву, неперервність елементарних функцій.
- •14. Похідна функції, таблиця похідних, диференціал.
- •15. Наближені обчислення за допомогою диференціала. Похідні та диференціали вищих порядків.
- •16. До основних теорем диференціального числення належать теорема Ролля, Лагранжа, Коші, Лопіталя та Ферма.
- •21. Первісна та невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів.
- •22. Основні методи інтегрування
- •Інтеграція підстановкою
- •23. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •24. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •25. Невласний інтеграл
- •26. Диференціальне рівняння першого порядку
- •27. Лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтом
- •28. Числові ряди з невідємними членами
- •29. Знакозмінні ряди
1.Лінійні функції однієї змінної
Рівняння прямої: ах+bу+с= 0, причому хоча б одне з чисел а, b не рівне нулю.
Якщо b≠0, то рівняння прямої можна звести до вигляду у=kх+m, при цьому число k називають кутовим коефіцієнтом прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k, яка проходить через точку M(x0, y0) має вигляд у-у0=k(х-x0) (1.1).
Рівняння прямої, яка проходить через точки А(xa ,ya) та В(хв,ув), має вигляд
(у-уА)(хв-хА) = (х-ха)(Ув-Уa).(1.2)
У випадку, коли пряма АВ не паралельна координатним прямимі Ох або Оу, рівняння прямої можна записати у вигляді
(1.3)
Якщо пряма АВ паралельна прямій Ох, то рівняння (1.2) набуває вигляду у = уA, а якщо вона паралельна прямій Оу, то рівняння (1.2) має вигляд х = хA.
Для того, щоб знайти спільні точки прямих L1: а1х+b1у+с1=0 та L2: а2x+b2у+c2=0, необхідно розв'язати систему
При цьому можливі три випадки:
– система має єдиний розв’язок
- система не має розв’язків
- система має безліч розв’язків
Розглянемо тепер прямі L1: y=k1x+m1 та L2: у=k2x+m2. Умови паралельності і перпендикулярності прямих L1 та L2 мають вигляд:
=> L1┴ L2= >k1k2=-1.
Відстань р(M, l) від точки M(x0, y0) до прямої l: ax+by+c=0 заходиться за формулою
р(M, l)=
2.Лінійні функції багатьох змінних
y=b0+b1x1+b2x2+b3x3 – функція багатьох змінних.
Загальне рівняння площини у просторі:
Умови паралельності та перпендикулярності площин. Нехай задано дві площини:
Види рівнянь прямої у просторі
┴
Відстань від точки M0(x0, y0, z0) до прямої l: ax+by+cz+d=0 заходиться за формулою
р(M0, )=
Види рівнянь прямої у просторі
1.Пряма як перетин двох непаралельних площин задається системою рівнянь
2.Канонічне рівняння прямої р (пряма, що проходить через точку М0(х0,у0,z0) паралельно вектору = (l, m, n), який називається напрямним вектором до прямої р):
3. Рівняння прямої р, що проходить через дві задані точки М0(х0,у0,z0) та М1(х1,у1,z1):
4. Параметричне рівняння прямої р. Прирівняємо всі відношення у канонічному рівнянні прямої до нової змінної - параметра t та виразимо змінні х, у, z через t маємо параметричне рівняння прямої:
Умова паралельності прямих, заданих канонічними рівняннями
та
3.Криві другого порядку на площині.
Загальне рівняння кривої другого порядку на площині:
Ах2 +Вху + Су2 +Dх + Еу + F = 0, де коефіцієнти А, В, С не можуть одночасно перетворюватись у нуль.
Основні криві другого порядку та їх канонічні рівняння
Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок (фокусів) є сталою величиною (її позначають 2а).У частинному випадку за умови збігання фокусів еліпс перетворюється на коло. Кажуть, що еліпс розташований канонічно, якщо його фокуси містяться на осі ОХ симетрично відносно початку координат у точках F1(-с,0) і F2(с,0). При цьому рівняння еліпса називається канонічним і має вигляд
Гіперболою називається геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок (фокусів) є сталою величиною (її позначають 2а).
Кажуть, що гіпербола розташована канонічно, якщо її фокуси містяться на осі ОХ симетрично відносно початку координат у точках F1(-с,0) і F2 (с,0). При цьому рівняння гіперболи називається канонічним і має вигляд
Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої прямої (директриси) та даної точки (фокусу). Кажуть, що парабола розташована канонічно, якщо її фокус міститься на осі ОХ в точці з координатами F(0, p/2), р > 0, а директриса задається рівнянням х=-р/2 . При цьому рівняння параболи називається канонічним і має вигляд
у2=2рх.