13.1.2 Расчет вращающегося кольца

Примером вращающегося кольца могут служить различного рода маховики, автомобильные и железнодорожные колеса и т.п. Рассмотрим случай вращения тонкостенного кольца (δ<<R) с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной к плоскости кольца (рис. 13.2, а).

При вращении кольца каждый его элемент движется с центростремительным ускорением j=ω²R. Силы инерции направлены в сторону, противоположную ускорениям, и при постоянном сечении распределены равномерно вдоль кольца. Интенсивность сил инерции, т. е. сила инерции, приходящаяся на единицу длины кольца, q=Аρω²R. Здесь ρ - плотность материала, А - площадь сечения, а R - радиус средней линии кольца.

Вырежем из кольца элемент, которому соответствует бесконечно малый угол dφ. Длина элемента Rdφ, его объем - RАdφ, а вес – RАρdφ.

Сила инерции, действующая на элемент,

(13.1)

Рисунок 13.2 – К расчету вращающегося кольца

Рассматривая элемент в равновесии. Проектируя все силы, действующие на элемент, на ось получим:

(13.2)

Учитывая, что Sindφ/2 ≈ dφ/2, найдем

, (13.3)

Напряжение в кольце определится как

(13.4)

Таким образом, напряжение в ободе маховика зависит от объемного веса материала и линейной скорости обода.

13.1.3 Расчет вращающихся рамных конструкций

Рассмотрим пример расчета вращающейся рамы.

Стержень регулятора с прикрепленным к нему грузом массой Q вращается вокруг оси О-О (рисунок 13.10, а) с постоянной угловой скоростью ω=const. Построим эпюру изгибающих моментов, полагая, что масса рамы мала по сравнению с массой груза.

Сила инерции груза F=Qω²a.

а) б)

Рисунок 13.10 – Вращающаяся рама

Рассматривая силу инерции груза как единственную внешнюю нагрузку на брус, строим эпюру изгибающих моментов (рисунок 13.10,б). Максимальный изгибающий момент

.

2. Напряжения и деформации при ударе

Явление удара наблюдается при соприкосновении тел, движущихся с различными скоростями, когда скорости соприкасающихся тел изменяются в течение очень малого промежутка времени. Напряжения и деформации при ударном нагружении, называемые динамическими, оказываются значительно больше тех, которые возникли бы в системе при статическом приложении той же нагрузки. Возникающие при этом большие ускорения (замедления) приводят к возникновению значительных инерционных сил, действующих в направлении, противоположном направлению ускорений, т.е. в направлении движения тела. Однако, решение задачи оценки напряжений при ударе как частного случая задачи с учетом сил инерции вызывает значительные сложности, так как продолжительность удара неизвестна.

При ударе возникают деформации двух типов: местные деформации в зоне контакта и общие деформации системы. В дальнейшем рассматриваются только общие деформации системы, и предполагается, что динамические напряжения не превосходят предел пропорциональности материала. Задача определения контактных напряжений в месте удара сложна и не может быть решена простыми методами.

В связи с указанными трудностями, при определении напряжений в элементах упругих систем при ударе в инженерной практике пользуются приближенным методом, основанным на законе сохранения энергии. Простейшая теория удара основана на следующих допущениях:

- удар считается неупругим, то есть ударяющее тело продолжает двигаться вместе с ударяемой конструкцией, не отрываясь от нее. Иными словами ударяющее тело и ударяемая конструкция имеют общие скорости после удара;

- ударяемая конструкция имеет лишь одну степень свободы, и вся масса конструкции сосредоточена в точке удара;

- рассеянием энергии в момент удара пренебрегаем, считая, что вся кинетическая энергия ударяющего тела переходит в потенциальную энергию деформации ударяемой конструкции, движение которой происходит при отсутствии сил сопротивления;

- ударяемая конструкция считается идеально упругой;

Это означает, что зависимость между динамическими усилиями и перемещениями, ими вызванными, точно так же подчиняется закону Гука, как и при статическом действии нагрузок. Отношение динамических и статических перемещений называется коэффициентом динамичности или динамическим коэффициентом:

(13.5)

В соответствии с законом Гука имеем

(13.6)

где σ_д - динамические напряжения; σ_ст - статические напряжения.