Вращение

Отображение или зеркалирование

• Зеркалирование относительно y = x

• Зеркалирование относительно y = 0

• Зеркалирование относительно x = 0

• Зеркалирование относительно центра координат y (0,0)

Вращение фигуры вокруг произвольной точки (m,n) на произвольный угол

Чтобы провести любое сложное преобразование необходимо разложить его на базовые операции.

Лекция 4. Преобразования в 3d пространстве. Виды проецирования

Как и в двумерном пространстве, преобразования в трехмерном пространстве удобнее проводить в однородных координатах. Отличие преобразований в 3D от 2D в том, что добавлена третья координата по оси 0z. Рассмотрим некоторые из них.

Смещение

Изменение масштаба

Диагональные элементы основной матрицы преобразования 4х4 осуществляют частичное и полное изменение масштабов. Рассмотрим преобразование

которое производит частичное изменение масштабов. Общее изменение масштаба получается за счет использования четвертого диагонального элемента, т. е.

Это преобразование иллюстрирует рис. 4.1, б. Такой же результат можно получить при равных коэффициентах частичных изменений масштабов. В этом случае матрица преобразования должна быть равной

Векторы положения точек А и В равны [0 1] и [2 3]

Вращение вокруг оси x на угол 

Вращение тела вокруг собственной оси

• Перемещение в начало координат

• Вращение

• Перемещение обратно

V=SRS^-1

Зеркалирование

В ращение тела вокруг произвольной оси проходящей через точку (0,0,0) на угол

Это не базовая операция. Ее можно получить из выше названных операций и поэтому запоминать её совсем не нужно.

 -угол наклона относительно ОХ

 - угол наклона относительно ОY

 - угол наклона относительно ОZ

n₁ = cos ()

n₂ = cos ()

n₃ = cos ()

Афинное проецирование

Математические основы

Проблема наглядного изображения на плоскости объемных тел очень стара. Еще первобытные люди оставили на стенах пещер изображения своих объемных сородичей. Большинство древних рисунков, в том числе, принадлежащих эпохе Древнего Египта и средневековью показывают человека и животных или сбоку, или в анфас; иногда одна часть тела изображена в профиль, а другая фронтально. Очевидно, легче было постичь ортогональные виды предметов, в которых линия, силуэт более выразительны и определенны, чем более реалистические, но сложные ракурсы.

Особый интерес к достоверности рисунка и правильности в передаче объемных предметов и сцен возникает в эпоху Возрождения. Альбрехт Дюрер, Леонардо да Винчи и другие художники много сделали в осмыслении процесса зрительного восприятия окружающего нас объемного мира и плоской картины, моделирующей этот мир. Искали связь между восприятием, искусством и геометрией, изобретали приспособления, позволяющие правильно построить рисунок.

Был выработан основной подход к построению наглядных отображений: картина рассматривалась как своеобразное "окно", сквозь которое зритель видит пространство. "Заменяя" пространство на картину, надо "заменить" лучи света, идущие в глаз наблюдателя от натурных предметов, на лучи, идущие от точек картины. Своего рода "идеал" - когда направления лучей после такой замены не изменяются.

Конечно, в восприятие как картины, так и натуры - процесс сложный, в ход вступает множество дополнительных факторов - аккомодация зрачка (его фокусировка, настройка на разглядывание близких или далеких предметов), конвергенция двух глаз (непараллельность зрительных осей глаз при рассматривании близких предметов), стереоскопический эффект, существующий благодаря наличию двух глаз и позволяющий нам более объемно, полно видеть мир, однако "выдающий" плоскостность картинной поверхности, и т.д.

В свое время для получения рисунков применялась камера-обскура, представлявшая собои непрозрачный ящик с маленьким отверстием в передней стенке и экраном в виде матового стекла вместо задней стенки или даже специальную комнату с небольшим отверстием в ставнях, через которое в солнечный день на противоположную стену отбрасывалось хотя и перевернутое, но реалистическое изображение окружающего пейзажа.

В перспективных изображениях более удаленные предметы изображаются в меньших масштабах, параллельные прямые в общем случае на изображении непараллельны. В итоге геометрия изображения оказывается достаточно сложной; построить такое изображение не очень просто, а по готовому изображению трудно определить размеры тех или иных частей объекта. По этой причине в проектировании, конструировании продолжают широко использовать ортогональные виды объектов - вид спереди, сверху, сбоку и т.д., а также аксонометрические проекции - по своей геометрии более простые, чем перспективные.

Во всех описанных выше случаях картина представляется плоской (картинная плоскость). Изображение на нее переносится с точек натуры прямыми лучами. Эти проецирующие лучи либо все параллельны и тогда мы имеем ортогональный вид или аксонометрическую проекцию, либо проходят через точку (глаз наблюдателя, или центр проецирования) и образуют перспективную (нейтральную) проекцию.

Когда мы хотим показать широкую панораму или окружающее нас пространство, плоская картина становится неэффективной. Можно представить себе зрителя окруженным цилиндрической или сферической (полусферической) поверхностью, на которую, нанесено изображение. Если знать геометрические правила, на плоскости можно нарисовать изображение, которое в виде развертки представит собой проекцию, затем картину можно изогнуть нужным образом, и тогда изображение не будет искажено.

Заметим, что прямые линии, на развертке изогнувшиеся, при правильном рассматривании представятся наблюдателю прямыми. Цилиндрическую или коническую поверхность легко развернуть или свернуть, а вот сферическую так не сделаешь. Вместо этого можно применить вогнутый, сферический экран, на который с плоской пленки или пластинки проецируется изображение. Чтобы на экране изображение воспринималось правильным, на пленке оно должно быть построено по специальным алгоритмам. Такие разнообразные проекции называются специальными.

Так как сфера не развертывается, то приходится перепроецировать изображение со сферической поверхности на плоскость. Если точки пространства проецируются на поверхность сферы лучами, проходящими через её центр, то перепроецировать их отображения на плоскость можно множеством способов. Среди которых выделяется стереографический; здесь со сферы на плоскость точки перепроецируются прямолинейными лучами, проходящими через полюс сферы, противоположный тому, в котором сфера касается плоскости. Положительное свойство этой проекции - её конморфность. Это значит, что углы между пересекающимися линями на сфере и их отображениями на плоскости равны, а если брать небольшие части изображения, то и отношение длин отрезков будет тем же. А это значит, что при различных углах отклонения лучей от главного проецирующего луча небольшие части объекта будут изображены достоверно ( правда в зависимости от направления лучей будет меняться их масштаб.)