Преобразование прямых линий
Линия задана 2 векторами
Векторы положения точек А и В равны [0 1] и [2 3]
Матрица преобразования
T = [1 2] (3.8)
[3 1]
Получим:
AT = [0 1] [1 2] = [3 1] = A* (3.9)
[3 1]
BT = [2 3] [1 2] = [11 7] = B* (3.10)
[3 1]
Альтернативное представление линии AB
L = [0 1]
[2 3]
После этого умножение матрицы L на Т даст
LT = [0 1] [1 2] = [3 1] = L* (3.11)
[2 3] [3 1] = [11 7]
Операция сдвига увеличила длину линии и изменила ее положение.
Вращение.
Рассмотрим плоский треугольник ABC с координатами ((3, -1), (4, 1), (2, 1)).
Осуществим поворот на 90° против часовой стрелки
Получим
[3 -1] [ 0 1] [ 1 3] (3.12)
[4 1] [-1 0] = [-1 4]
[2 1] [-1 2]
В результате получим треугольник А*В*С*. Поворот на 180° осуществляется с помощью матрицы
[-1 0]
[ 0 -1]
поворот на 270 вокруг начала координат - с помощью матрицы
[0 -1]
[1 0]
Отображение.
Отображение определяется поворотом на 180° вокруг оси, лежащей в плоскости ху.
1) Вращение около линии у=x происходит при использовании матрицы
[0 1]
[1 0]
Новые выражения определяются соотношением
[8 1] [0 1] [1 8] (3.13)
[7 3] [1 0] = [3 7]
[6 2] [2 6]
2) Вращение вокруг у = 0 получается при использовании матрицы
[1 0]
[0 -1]
Новые вершины определяются соотношением:
[8 1] [1 0] [8 -1]
[7 3] [0 -1] = [7 3]
[6 2] [6 2]
Изменение масштаба.
Изменение масштаба определяется значением 2-х членов основной диагонали матрицы
Если используем матрицу: Увеличение в 2 раза
[2 0]
[0 2]
Если значения членов не равны, то имеет место искажение
Треугольник АВС преобразован с помощью матрицы
[2 0]
[0 2]
Треугольник DEF преобразован с помощью матрицы
[3 0]
[0 2] Искажение
Двумерное смещение и однородные координаты.
Введем третью компоненту в векторы точек [x y] и [x* y*] - [x y 1] и [x* y* 1 ].
Матрица преобразования выглядит след. образом:
[1 0]
[0 1]
[m n]
Таким образом,
[1 0]
[x y 1][0 1] = [x + m, y + n] = [x* y*] (3.14)
[m n]
Константы m, n вызывают смещение x* и у* относительно x и у, матрица 3х2 не квадратная - она не имеет обратной матрицы.
Дополним матрицу преобразования до квадратной
[1 0 0]
[0 1 0] (3.15)
[m n 1]
Третья компонента не изменяется.
Однородные координаты. Операции в них
Любая система координат, в которой представление точки в двухмерном (трехмерном) пространстве дается при помощи трех (четырех) координат (Р1 Р2Р3Р4), называется системой однородных координат. Для n-мерного пространства число однородных координат должно быть n+1. Теперь сложные преобразования можно представить, используя произведения матриц. Применение однородных координат в общем случае дает возможность избегать аномалий, возникающих при работе с декартовыми координатами.
Операция cмещения
|
|
В представление точки введена дополнительная координата, в результате третья компонента не изменилась . Константа переноса не зависит от системы координат от х или у.
В случае выхода рисунка за сечение н=1 рисунок возвращается принудительно в данное сечение, чтобы были возможны следующие операции:
- нормализация однородных координат.
|
|
Общий вид преобразования
Операция масштабирования
|
|
Общее полное масштабирование
s<1 увеличение; s>1 уменьшение.