1. Интерполяция функций. Интерполяционный полином Лагранжа

Пусть задано несовпадающее множество точек x_i, которое мы будем называть узлами и в которых известны значения f(x_i), i=0,n.

1. Способ построения аппроксимирующей функции, при котором в узлах значения аппроксимирующей и аппроксимируемой функции совпадают, называется интерполяцией.

2. Интерполяция – это частный случай аппроксимации, когда аппроксимирующая прямая проходит через точки таблицы.

Если аппроксимирующую функцию строить только по некоторым точкам таблицы, то эти точки называются узлами интерполяции и аппроксимирующая прямая проходит через узлы интерполяции.

В качестве аппроксимирующей функции возьмём полином , тогда задача интерполяции заключается в том, чтобы найти такой полином Q_m(x), который в заданных точках x_i принимает те же значения, что и f(x), т.е. Q_m(x_i)=f(x_i), то Q_m(x) называется интерполяционным полиномом.

Пусть m=n, тогда коэффициенты a_i можно определить из системы уравнений:

Определитель той системы – есть определитель Вандермонда:

Система имеет единственное решение, т.к. ∆≠0.

Полином Q(x)=Ln(x), коэффициенты которого определяются из этой системы, называется интерполяционным полиномом Лагранжа и может быть записан в виде:

m=n, где m – степень полинома, n – число узлов+1. Следовательно, степень полинома должна быть на 1 меньше числа узлов.

2. Системный подход, системные исследования и системный анализ

Для анализа сложных объектов и процессов применяются системный подход, системные исследования и системный анализ.

Системный подход. Системный подход к исследованиям предполагает необходимость исследования объекта с разных сторон, комплексно, в отличие от ранее принятого разделения исследований на физические, химические и другие. С помощью многоаспектных исследований можно получить более правильное представление о реальных объектах, выявить их новые свойства, лучше определить взаимоотношения объекта с внешней средой, другими объектами.

Системные исследования. При таком подходе понятия теории систем используются более конструктивно: определяется класс систем, вводится понятие структуры, а иногда и правила ее формирования и т. п. Это следующий шаг в системных направлениях. В поисках конструктивных рекомендаций появились системные направления с разными названиями: системотехника, системология и др. Для их обобщения и стал применяться термин «системные исследования». При системных исследованиях используется аппарат исследования операций.

Системный анализ. В настоящее время системный анализ является наиболее конструктивным направлением. Системный анализ – это методология исследования целенаправленных систем (Д. Киланд, В. Кинг). В работах по системному анализу всегда предлагается методология проведения исследовании, делается попытка выделить этапы исследования и предложить методику выполнения этих этапов в конкретных условиях. В этих работах всегда уделяется особое внимание определению целей системы, вопросам формализации представления целей.

В настоящее время системный анализ развивается применительно к проблемам планирования и управления. Этот термин стал практически неотделим от терминов «целеобразование» и «программно-целевое планирование и управление». В современных работах системы анализируются как целое, рассматривается роль процессов целеобразования в развитии целого, роль человека.

Теория систем с точки зрения системного анализа проблемы включает три основных научных направления:

· кибернетику как науку об управлении, включающую анализ информационных процессов в системах с управлением;

· исследование операций как науку, дающую количественное обоснование степени соответствия управления целевому назначению системы;

· экономические исследования (технико-экономические, военно-экономические исследования), дающие возможность анализировать процесс функционирования основных средств системы.