3.5. Сполучені судини

Н а рис. 1.8 приведена схема сполучених судин, заповнених рідинами, що не змішуються, з різними і щільністю. Проведемо по границі розділу двох рідин у правому коліні площина рівного тиску, слід якої на схемі – горизонтальна лінія . Абсолютні тиски в крапках і , як і в будь-яких інших крапках рідини, що лежать на цій площині, будуть однакові: . Відповідно до основного рівняння гідростатики (27) і можуть бути замінені їх значеннями відкіля

(1.31)

тобто висоти стовпів рідин у сполучених судинах назад пропорційні їх щільностям.

Якщо в сполучені посудини буде налита та сама рідина, то рівні її в обох колінах розташуються на однаковій висоті, тому що і, отже, з рівняння (31) , тобто .

3.6. Закон Паскаля

Помістимо на вільну поверхню рідини, що знаходиться в рівновазі в резервуарі (рис. 9, а), поршень і прикладемо до нього силу , у результаті чого з боку поршня на рідину виникає тиск . Відповідно до основного рівняння гідростатики (1.27) абсолютні тиски в довільно обраних крапках рідини , , будуть відповідно рівні:

З аналізу отриманих рівнянь видно, що абсолютні тиски в крапках рідини, що знаходяться на різній глибині, будуть різні, однак зовнішній тиск на рідину, укладену в замкнутій судині, передається всім її часткам без зміни. У цьому суть закону Паскаля.

Практично закон Паскаля використовується в ряді гідравлічних машин: гідравлічних пресах і підйомниках, об'ємних насосах і гідродвигунах.

Н а рис. 9, б приведена принципова схема гідравлічного преса. Прикладаючи до меншого поршня силу , створюємо в рідині тиск , що відповідно до закону Паскаля передається більшому поршню, викликаючи силу . Якщо зневажити опорами, то

(32)

3.7. Сила тиску рідини на плоску стінку. Центр тиску

В иділимо на плоскій бічній стінці судини (рис. 10), нахиленої під кутом , довільну фігуру площею і визначимо діючу на неї з боку рідини силу тиску . Для наочності сполучимо розглянуту стінку з площиною креслення (тобто повернемо її на навколо осі ).

Тому що тиск рідини в різних по висоті крапках площі різний, то виділимо на цій площі елементарну площадку, що знаходиться на відстані чи від вільної поверхні рідини від осі . Для такої нескінченно малої площі тиск у всіх її крапках однаковий і дорівнює , отже, сила тиску рідини на елементарну площадку буде

Сила тиску на всю розглянуту площу буде

Вираження являє собою статичний момент розглянутої площі щодо осі , що дорівнює добутку площі на відстань від її центра ваги до осі , тобто . Таким чином, чи, заміняючи , одержимо

(33)

З (33) видно, що сила тиску рідини на плоску стінку дорівнює добутку змоченою рідиною площі стінки на гідростатичний тиск у її центрі ваги .

Якщо на вільну поверхню рідини діє тиск, відмінне від атмосферного, силу тиску на стінку можна знайти по формулах:

(34)

(35)

де і – відповідно манометричний тиск і вакуум на вільній поверхні рідини.

У ряді випадків, крім значення сили тиску рідини на стінку, необхідно знати координати крапки її додатка – центра тиску.

Припустимо, що сила тиску прикладена в крапці , що знаходиться від осі на відстані . Відповідно до теореми Вариньона про момент рівнодіючої (момент рівнодіючої сили щодо якої-небудь осі дорівнює сумі моментів складових сил щодо тієї ж осі) чи Замінивши в останнім вираженні і їх значеннях, одержимо . Винесемо постійні за знак інтеграла і скоротимо їх . Вираження являє собою момент інерції площі фігури щодо осі – , що може бути виражений через момент інерції щодо центральної осі, рівнобічної осі , у такий спо-

сіб: . Тоді , відкіля

(36)

З (36) видно, що центр тиску для плоскої стінки знаходиться завжди нижче її цента ваги. Горизонтальна координата центра тиску знаходиться на осі симетрії площі фігури.

В окремому випадку, коли тобто для горизонтального дна судини, відстань від вільної поверхні до центра ваги площі буде дорівнює висоті рідини в судині , тому сила тиску рідини на дно судини . З цього вираження видно, що різні за формою судини, що мають однакові площі дна і заповнені однаковою рідиною на ту саму висоту, будуть мати однакову силу тиску на дно незалежно від форми судини і кількості рідини, що знаходиться в ньому, (гідравлічний парадокс). Центр тиску, для дна судини збігається з центром ваги площі.