Устоявшийся(стационарный) режим работы смо с отказами
Для большинства СМО, в том числе для большинства СМО с отказами, можно выделить достаточно длительный период времени, в течении которого система работает в стационарном режиме, т.е. вероятности состояний системы pk(t) не изменяются во времени. Такой период называют стационарным или устоявшимся или установившимся и т.п.
Рассмотрим определение вероятности
pk(t)
для такого режима. Если вероятности
состояний во времени не изменяются, то
это означает что их первые производные
по времени равны 0. Если подставить в
уравнение Эрланга вместо производных
нули, то получится уже система не
дифференциальных уравнений, а
алгебраических. Причем получающаяся
система является однородной(т.е. с
нулевым вектором свободных членов).
Все уравнения при этом являются линейными.
Из математики известно что если
определитель однородной системы не
равен нулю, то система имеет единственное
так наызваемое тревиальное решение,
т.е. решение в котором все координаты
равны нулю. Если определитель однородной
системы равен нулю, то система будет
иметь бесконечно много решений, что
равносильно тому, что какое то из
уравнений можно исключить. В этом случаи
можно добавить еще одно уравнение и
если оно будет неоднородным, то система
будет иметь единственное и нетривиальное
решение. Для установившегося режима
системы массового обслуживания
ествественным дополнительным условием
является
При этом pk(t) - константа, т.е. не зависит от времени. Получающаяся в итоге систему алгебраических уравнений можно решить. В результате получается так называемые формулы Эрланга.
Введем обозначение лямбда/мю = альфа . Альфа - преведенная плотность потокозаявок, фактически это среднее число заявок, приходящееся на время обслуживания одной заявки.
В частном случаи одноканальной системы можно вычислить вероятность отказа для прешедшей заявки как Ротк1 = альфа/(1-альфа)
Эти две формулы называются формулы Эрланга. В этом случаи относительная пропускная способность
q1=1/(1+alpha)
Пример: АТС имеет 4 линии связи. На станцию поступает простейший поток заявок с плотностью 3 вызова в минуту. Вызов поступивший в момент когда все линии заняты получает отказ. Средняя продолжительность телефонного разговора 2 минуты. Найти
Вероятность отказа
Среднюю долю времени в течении которого телефонная АТС не загружена вообще, имеется в виду, что режим стационарный.
Несмотря на то что формулы Эрланга в точности справедливы только при простейшем потоке заявок оказывается, что с достаточной для практики точностью их можно использовать и во многих других случаях, когда поток заявок отличается от простейшего, но обладает свойством стационарности, т.е. например для потока Пальма. Оказывается что этими формулами можно также пользоваться и для СМО с ожижанием в тех случаях, когда время ожидания относительно небольшое по сравнению со временем обслуживания одной заявки.
...
Рассмотрим ситуацию смешанной системы массового обслуживания, имеющую n каналов обслуживания с постопуающим на нее простейшим потоком заявок, с известной плотностью лямбда. Время обслуживания одной заявки распределено по показательному закону с параметром мю =1/mtобсл. Заявка заставшая все каналы занятыми становится в очередь и ожидает обслуживания, причем время ожидания ограниченно сроком Тож, если до истечения этого срока подойдет эта очередь, то заявка будет обслужена, если не подойдет, то заявка покидает систему, оставаясь необслуженной. Время ожидания является случайной величиной. Примим допущение, что оно распределено по показательному закону с плотностью распределения h(t)=ve^(-vt). V - параметр закона распределения, величина обратная среденему времени ожидания V=1/mtож. Парметр ню(V) может быть получен экспериментально путем наблюдения за работой системы в течении достаточно длительного времени. В крайних случаях, если ню стремится к нулю, то система превращается в чистую систему с ожиданием, а если ню стремится к бесконечности, то система превращается в систему с отказами. Т.к. согласно приянтым допущениям все процессы приводящие к изменению состояния системы имеют показательное распределение, то последействие отсутсвует и процесс, описывающий поток событий будет Марковским. Рассмотрим возможные состояния системы:
Х0 - все каналы свободны, очереди нет
...
Хn - все каналы заняты, очереди нет
Хn+1 - все каналы заняты в очереди находится одна заявка
...
Хn+s - все каналы заняты в очереди находится s заявок
...
Т.к. на длинну очереди ограничений нет, то количество состояний системы теоретически может быть бесконечно большим.
Составим уравнение Эрланга для такой системы. Очевидно что первые n уравнений будут точно такими же как и для системы с отказами. Отличие начинается с n+1 уравнения соответсвующего состоянию Xn. Можно вывести соответсующее этой схеме дифуравнение так же как выводили для системы с отказами. В итоге получается следующая система уравнений:
Первые уравнения СМО с откзами. Для номера уравнения к>н-1 получим
Так же как и для системы с отказами можно вывести формулы Эрланга соотвествующие установившемуся стационарному режиму работы, т.е. формулы для определения Рк, когда Рк не функция от т, а константа. Для этого вводится кроме параметра альфа= лямбда/мю еще и параметр бета = ню/мю. Можно найти для установившегося режима вероятность отказа, если есть ограничение и можно найти относительную пропускную способность системы.
В зависимости от величины параметра бета СМО с ограничением по времени ожидания может переходить от крайнего случая СМО с отказами при бета стремящемся к бесконечности до крайнего случая чистой СМО с ожиданием при бета стремящемся к нулю. Как правило параметр бета имеет промежуточное между этими крайними случаями значение, и подставляя его в уравнение Эрланга для переходного режима работы системы или в формулы Эрланга для установившегося режима можно получить нужные характеристики системы, например, можно получить вероятность того, что все каналы свободные; можно получить вероятность отказа в обслуживании; можно получить среднюю длину очереди и т.д.
Пример: на вход трехканальной сиситемы с неограниченным временем ожидания поступает простейший поток заявок с плотностью 4 заявки в час, среднее время обслуживания одной заявки 30 минут. Определить существует ли установившийся режим обслуживания, если да, то найти вероятности р0, р1, р2, р3, а также найти вероятность наличия очереди и найти среднюю длинну очереди.
Лямбда = 4 час^-1
mоб = 0,5 часа
Мю= 2 часа^-1
n = 3
Условие существования установившегося режима в СМО с ожиданием альфа< n.
Альфа = лямда/мю
Система уравнений Эрланга в данном случаи имеет бесконечно много дифференциальных уравнений, т.к. множество состояний сиситемы теоретически бесконечно велико. Как показали исследования реальных СМО с увеличением числа состояний n+s соответсвующие вероятности PR, где r = n+s уменьшается. Поскольку состояние при больших s становится малоразличимыми, то PR -> 0. Учитывая это соображение на практике отбрасывают уравнение Эрланга начиная с некоторого достаточно большого номера и система дифуравнений имеет ограниченную размерность. Используя уравнение Эрланга для ситуация альфа<n были полученны формулы для определения вероятностей и состояний:
Можно также получить формулу для среднего числа заявок находящихся в очереди:
В рассматриваемом примере альфа равно 2. Т.к. 2<3, то условие существования установившегося режима выполняется.