Потоки Эрланга

Частным случаем потоков Пальма является потоки Эрланга. Они образуеются из простейшего потока по "рассеиванию", т.е. удалению некоторых событий. Если из простейшего потока удалить каждое второе событие, то оставшееся образует поток, который называется поток Эрланга первого порядка(Э1). Этот поток является потоком Пальма, поскольку промежутки времени между событиями остаются независимыми друг от друга как и в простейшем потоке. Поток Эрланга второго порядка получится если сохранить в потоке каждую третью точку, а две промежуточные точки удалить. Обобщенным потоком Эрланга катого порядка называется поток получаемый из простейшего если сохранять каждую к + 1 точку, а остальные точки удалять.

Найдем закон распределения промежутка времени Т между соседними событиями в потоке Эрланга катого порядка. Рассмотрим сначала простейший поток с интервалами между событиями Т1, Т2,... Тогда для потока Эрланга катого порядка промежуток времени можно вычислить как

Поскольку для простейшего потока плотность распределения равна

то можно найти закон распределения величины Т для потока Эраланга катого порядка как композицию к+1 закона распределения для каждого промежутка простейшего потока. Можно получить что плотность распределения для потока Эрланга катого порядка равна

Если принять к=0, то получается

Т.к. в случаи к=0 соотвествует простейшему потоку.

Для потока Эрланга катого порядка можно получить формулы для статистических характеристик

Плотность потока

Из последней формулы видно, что при увеличении к математическое ожидание и дисперсия потока Эрланга увеливается, а плотность уменьшается. Если взять поток Эрланга и увеличивать порядок до бесконечности и при этом сохранять плотность потока постоянной, то получится нормированный поток Эрланга(Э~). Для него можно получить

Таким образом математическое ожидание нормированного потока эрланга не зависит от к и равно математическому ожиданию простейшего потока, при этом дисперсия неограниченно убывает с ростом к. Если к стремится к бесконечности то дисперсия стремится к нулю. Таким образом всепромежуткивремени междусобытиямистанут при к стремящимся кбесконечности станутодинаковыми, т.е. мыполучим регулярный поток.

Таким образом изменяя порядок к потока Эрланга от нуля до бесконечности можно получить поток с любой степенью последействия начиная от полного отсутсвия последействия при к равном нулю и кончая "жестким" последействием, когда каждый следующий промежуток строго равен предыдущиму при к стремящемся к бесконенчости. Этим свойсвом потока эрланга часто полузуются на практике. Если имеется реальный поток событий, обладающий некоторым последействием и для него экспериментально найдены статистические характеристи, то по ним можно получить порядок эквивалентого потока Эрланга после вчего заменив реальный поток на поток Эрланга найденного порядка можно применить методы разработанные для потоков Эрланга.

Пример. Пусть в результате статистической обработки промежутков времени между заявками для системы массового обслуживание установленно что математическое ожидание промежутка времени между поступлениями заявок составляет mt=2мин,а Dt =0,8 мин^2. Требуется заменить этот поток заявок нормированным потоком Эрланга имеющим теже характеристики. Сначала найдем лямбда как лямбда = 1/мт=0,5мин^-1. к=4. Таким образом нормированный поток Эрланга порядка 4 будет иметь такие же статистические характеристики как и рассматриваемый реальный поток.