Системы массового обслуживания с отказами.

Все системы массового обслуживания можно разделить на системы с отказами и системы с ожиданиями. В системах отказами заявка поступающая в момент когда все каналы обслуживания заняты удаляется из системы оставаясь не обслужанной, т.е. получает отказ. Рассмотрим систему с отказами и ее возможные состояния. Пусть система имеет n каналов обслуживания. Возможные состояния системы будут следующие: x0 - все каналы свободны, x1 - занят один, ..., xn- занят один канал. Поставим задачу определить вероятности состояний системы для любого момента времени t. Т.е. определить pk(t). Примим допущения:

1. Поток заявок будем считать простейшим, имеющим плотность лямбда

2. Будем считать что время обслуживания является случайной величиной, распределенной по показательному закону

3. g(t)=mu*e^(-mu*t)

4. Параметр мю аналогичен параметру лямбда показательного распределениядлинны времени промежутка между соседними событиями в простейшем потоке. Длинна этого промежутка распределена по показательному закону с плотностью

f(t)=jle^(-jl*t)

Для вероятностей состояний системы должно выполняться равенство

Составим диффирицальное уравнение для всех веротностей, начиная с p0(t). Зафиксируем в момент времени t и найдем вероятность того, что в момент t+Δt система примет состояние x0, т.е. все каналы будут свободны.

Система может в момент t+Δt принять x0 в 2х случаях, если за промежуток Δt новых заявок не поступало или был занят а потом освободился. Вероятностью "прескока" системы через состояние пренебрегаем. Имеется в виду что промежуток Δt достаточно мал. Обозначим случайное событие, состоящее в первом случаи принятия состояния х0 через А, а вероятность случайного события соотвествующего второму случаю через В. Тогда

р0(t+Δt)=р(А)+р(В)

Вероятность того что в момент времени t система была уже в состояния x0 равна p0(t), а вероятность того что за время Δt не придет ни одной заявки равняется , т.к. выше принято было допущение о показательном законе распределения. По теореме умножения вероятностей для независимых случайных событий, получим

Как известно из математики для экпотенциальной функции при малом Δt

Тогда

P(B) можно записать как

Где мю введный выше параметр.

Аналогичным образом могут быть составлены дифуры и для других вероятностей состояний.

Рассмотрим некоторое к-ое состояние системы, где 0<к<n.

Система может оказться в момент времени t+Δt в состоянии Хк в 3х случаях

• если система уже была в состоянии Хк в момент времени т - событие А

• Если система была в состоянииХк-1 в момент времени т и за время Δt поступила заявка - событие В

• Если система была в состоянии Хк+1 в момент времени т и за время Δt освободился 1 канал - событие С

Аналогична ситуация с р0

Рк=Р(А)+р(В)+р(К). Выражая вероятности через параметры показательных распределний потокозаявок и времени обслуживания получим

Аналогично рассматривается ситуация когда к=n. Система може оказаться в момент времени t+Δt в состоянии Хн в двух случаях

1. Если она уже была в состоянии Хн в момент времени т.

2. Если она была в состоянии Хн-1, т.е. был свободен один канал и за время Δт пришла одна заявка.

Выведенные уравнения для каждого состояния системы вместе образуют систему дифуравнений, которое называется уравнение Эрланга. Для того чтобы найти вероятности всех состояний системы в любой момент времени т>0 надо решить систем уравнений Эрланга задавшись начальными условиями. Порядок системы уравнений Эрланга на едининицу больше чем число каналов в обслуживании, поэтому для решения системы уравнений требуется n+1 начальных условий. Принимаем начальные условия в виде

Т.е. предполагаем, что в начальный момент времени все каналы свободны.

Решая систему уравнений получаем все вероятности состояний

Вероятность того, что пришедшая в систему заявка найдет все каналы занятыми и получит отказ равна p(n). Вероятность того что заявка не получит отказ

q(t) = 1 - pn(t). Эта вероятность называется относительной пропускной способностью системы.