КР №2 по вышке 2 вариант
.docАгаджанов Владимир Леонидович
Факультет: З и Д О
Курс:1
Вариант:2
Контрольная работа по высшей математике
Контрольная работа №2
Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
52. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
.
Решение.
1. При решении системы методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей
с целью приведения ее путем элементарных преобразований к треугольному или трапециевидному виду. Для этого прибавим ко 2-й строке 1-ю,
умноженную на ( - 5), к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на (- 2), получим
прибавим к 3-й строке 2-ю, умноженную на ( -7), получим
Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система имеет единственное решение. Она сводится к системе
Отсюда, подставляя во второе уравнение, получим ,а из первого уравнения .Итак, , , .
-
Для решения этой задачи матричным способом, находим определитель системы
Следовательно, находим решение по формуле или
, где , - алгебраические
дополнения элементов матрицы А :
Проверим правильность вычисления обратной матрицы
исходя из определения обратной
матрицы
Значит, матричное решение системы имеет вид:
Откуда следует, что
62. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Решение. Так как система уравнений состоит из трех уравнений с четырьмя неизвестными то дополним его уравнением вида ,
Следовательно система примет вид:
Находим ранг основной матрицы системы с помощью элементарных преобразований:
Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений этой системы
. Преобразованная система, эквивалентная исходной, имеет вид
Эти формулы дают общее решение. В векторном виде его можно записать следующим образом
где произвольные числа. Векторы-столбцы ,
и образуют базис пространства решений
данной системы. Полагая , и ,где
произвольные постоянные, получим общее решение в векторном виде:
72. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .
Решение. Первое линейное преобразование
имеет матрицу ,
второе имеет матрицу .
Тогда произведение линейных преобразований имеет матрицу , т.е.
поэтому искомое линейное преобразование имеет вид
82. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
А =
Решение. Составляем характеристическое уравнение матрицы
,
что соответствует откуда
При система примет вид:
Таким образом, числу соответствует собственный вектор
где - произвольное действительное число. В частности, при
имеем .
Аналогично для имеем , здесь
D – множество действительных чисел. Следовательно .
92 . Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.
Решение. Левая часть уравнения представляет собой квадратичную форму с
матрицей . Решаем характеристическое уравнение
Найдем собственные векторы, имея две системы:
Нормировав эти векторы, запишем их координаты в столбцы, составив матрицу :
С помощью матрицы T записываем искомое ортогональное преобразование
Это преобразование приводит данную квадратичную форму к каноническому виду
Последнее уравнение есть каноническое уравнение эллипса.