Кр №2
.docБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет заочного, вечернего и дистанционного обучения
Специальность «Автоматизированные системы обработки информации»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Электронный адрес:
Минск, 2006
52. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
Решение:
Система является совместной, если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. В данном случае, они равны:
Решим систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу
и поменяем местами первую и последнюю строки:
Умножим первую строку на -2 и сложим со второй, потом на -5 и сложим с третьей:
Теперь умножим вторую строку на -4 и сложим с третьей:
.
Находим: .
Подставим и найдем остальные неизвестные:
, .
Решим эту задачу методом Крамера:
– определитель
, , .
Значения, полученные разными способами решения, совпадают.
Ответ: ,,.
62. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Решение:
Составим матрицу и преобразуем ее:
Размерность пространства решений этой системы уравнений найдем по формуле:
.
Система уравнений, эквивалентная исходной:
Выразим x1 и x2:
и .
, где x3 и x4 – произвольные числа.
Ответ: и .
72. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .
Решение:
Первое линейное преобразование имеет матрицу , второе имеет матрицу .
Тогда произведение (т.е. последовательное выполнение) линейных преобразований имеет матрицу , т.е.:
Ответ: .
82. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Решение:
Составляем характеристическое уравнение матрицы:
.
, ,.
При система имеет вид:
, .
Таким образом, числу соответствует собственный вектор
При получаем собственный вектор .
При система имеет вид:
, , .
.
При будет система:
,
При получаем собственный вектор .
Ответ: собственные значения матрицы: , ,
Соответствующие собственные векторы , , .
92. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.
Решение:
Запишем квадратичную форму:
Решим характеристическое уравнение:
,
Найдем собственные векторы.
Для :
Для :
Нормируем собственные векторы по формуле:
, .
Составим матрицу:
С помощью матрицы B запишем ортогональное преобразование:
Это преобразование приводит данное уравнение в уравнение
– каноническое уравнение эллипса
Ответ: