КР №1,2 Вышка 7 вар
.doc7 вариант
№7
Даны четыре вектора , , и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
, , ,
Решение
3*5*(-4)+4*0*2+(-5)*1*(-3)-2*5*(-3)-(-5)*4*(-4)-1*0*3=
=-60+15+30-80=-95
значит, векторы не компланарны и создают базис.
8*5*(-4)+(-5)*1*17+(-16)*0*2-2*5*17-(-16)*(-5)*(-4)-8*0*1=-95
3*(-16)*(-4)+4*17*2+8*1*(-3)-(-3)*(-16)*2-17*1*3-4*8*(-4)=285
3*5*17+(-5)*(-16)*(-3)+4*0*8-(-3)*5*8-4*(-5)*17-0*(-16)*3=
=275-240+120+340=475
, ,
№17
Даны координаты вершин пирамиды . Найти:
1) длину ребра; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.
Решение
1) Найдем координаты (3-5;8-5;4-4)=(-2;3;0)
Найдем длину
2) Найдем угол :
(5-5;8-5;2-4)=(0;3;-2)
3) найдем угол между и гранью :
- угол между и его ортогональной проекцией на плоскость ,
вектор - произведение и , , значит:
(3-5;5-5;10-4)=(-2;0;6)
(18;12;6)
4) Найдем площадь используя геометрический смысл векторного произведения:
5) Найдем объем пирамиды:
6) Уравнение прямой:
, где
7) Уравнение плоскости:
8)Искомое уравнение прямой получим из канонических уравнений прямой, где точка - точка лежащая на искомой прямой, m,n,p – координаты вектора , параллельного искомой прямой. В качестве точки возьмем , а в качестве вектора - нормальный вектор плоскости - вектор , то есть :
9) Сделаем чертеж:
№27
Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(0;1) вдвое меньше расстояния от прямой y=4.
Решение
Формула для нахождения расстояния от искомой линии до точки А будет вида:
,
до прямой y=4:
,
так как должна быть в два раза больше , то получим уравнение:
, возведем в квадрат обе части уравнения, получаем
- это каноническое уравнение гиперболы с полуосями
и 2 и центром в начале координат.
№37
Доказать совместимость данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гауса; 2) средствами матричного исчисления:
1) Проверим совместимость данной системы:
1*(-5)*(-1)+2*3*2+3*7*1-2*(-5)*1-3*2*(-1)-7*3*1=330
Следовательно система совместима.
2)решим систему методом Гауса:
из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 3;
а из 3-й – 1-ю умноженную на 2, получим:
3) Решим систему средствами матричного исчисления:
так как определитель , то находим решение по формуле
или ,
Проверим правильность вычисления обратной матрицы:
, следовательно, обратная матрица верно вычислена.
Значит, матричное решение имеет вид:
Следовательно .
№47
Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Решение
Находим ранг основной матрицы системы с помощью элементарных преобразований:
Ранг матрицы равен 2
Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений этой системы n-r=2.
Преобразованная система, эквивалентная исходной, имеет вид:
,
Эти формулы дают общее решение. В векторном виде его можно записать следующим образом:
,
Где и - произвольные числа. Вектор-столбцы и
образуют базис пространства решений данной системы.
№57
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:
Решение
Составим характеристическое уравнение матрицы:
получим что и ,
При :
.
При :
,
.
№67
Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм:
Решение
Левая часть уравнения представляет собой квадратичную форму с матрицей
. Решаем характеристическое уравнение
, то есть
Получим что и .
При
,
При
, .
Нормируем собственные векторы:
,
Составим матрицу перехода от старого базиса к новому:
,
Последнее уравнение есть каноническое уравнение элипса.
№77
Построить график функции преобразованием графика функции :
Решение
Рассмотрим данную функцию по частям относительно :
- график данной функции будет симметричен графику относительно оси ОХ;
- график данной функции будет иметь вершины в точках и ;
- период данной функции будет ;
- график данной функции будет смещен влево на .
Собирая воедино все выше рассмотренные отличия данной функции получим:
- график данной функции будет симметричен графику относительно оси ОХ, будет иметь вершины в точках и , период данной функции будет , график данной функции будет смещен влево на .
№87
Данная функция на отрезке . Требуется : 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежутки , начиная от ; 2)Найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.
Решение
Составим таблицу.
Из таблицы видно, что при .
Для построения линии проведем радиус-векторы, соответствующие углам , взятым с интервалам .
На каждом из этих радиус-векторов откладываем отрезки, равные значению при соответствующем значении из таблицы. Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной линии;
2) Подставляя и в уравнение заданной линии, получаем
Полученное уравнение есть уравнение параболы с вершиной А(0;2.5), ветви параболы направлены вниз.
№97
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
Решение
а) , подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности . Разделим числитель и знаменатель на :
, так как , то дроби – бесконечно малые числа, ими можно пренебречь.
б) , подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности . Умножим числитель и знаменатель на :
.
в) , подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности . , пусть t=3x:
.
г)
Разделим числитель и знаменатель на , так как , то дроби – бесконечно малые числа, ими можно пренебречь:
.
№107
Заданы функция и два значения аргумента и . Требуется 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
, ,
Решение
1)При , - функция непрерывна;
При , - функция неопределенна.
2) при приближении к точке разрыва справа:
;
при приближении к точке разрыва слева:
3)
№117
Задана функция различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение
Функция непрерывна на ;
Функция х непрерывна на ;
Функция 0 непрерывна на ,
значит непрерывна на интервалах .
Исследуем точки x=0 и x=2:
- функция непрерывна;
- точка разрыва.
Видим, что односторонние пределы функции в точке х=2 существуют, но не равны между собой. Следовательно эта точка является точкой разрыва первого рода.