кр № 6 вариант 3
.doc6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Элементы теории поля
263. Вычислить криволинейный интеграл вдоль окружности , обходя её против хода часовой стрелки.
273. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и его проекцию на плоскость хОу изобразить на чертежах.
Сделаем чертёж проекции по плоскость xOy:
283. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр а положителен.
Перейдём к полярным координатам:
293. Даны векторное поле и плоскость Р:, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Требуется вычислить:
1) поток векторного поля F через часть плоскости Р, ограниченной координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости Р, которая образует с осью Oz острый угол;
2) поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности.
1) Поток равен .
2) Поток по всей поверхности равен сумме модулей потоков через все четыре боковые поверхности. Поток через плоскость уже найдён, найдём потоки, проходящие через другие грани, которые являются координатными плоскостями.
При х=0 dx=0, тогда поток равен .
При у=0 dу=0, тогда поток равен .
При z=0 dz=0, тогда поток равен
Тогда поток через полную поверхность равен 37,333+0+0+2,667=40
310. Проверить является ли векторное поле F потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.
Для того, чтобы поле F было потенциальным нужно, чтобы .
Т.к. , значит, поле потенциально. Для нахождения потенциалов воспользуемся формулой:
Из первого уравнения , тогда .
Значит, – потенциал поля F.
Для соленоидальности поля необходимо и достаточно, чтобы .
Значит, поле F не соленоидально.