44. Дать определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Изложить правило составления характеристического уравнения.

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид F(x,y,y',y")=0. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение y"+p(x)y'+q(x)y=0. Если коэффициенты p(x) и q(x) постоянны, т.е. не зависят от x , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: y''+py'+qy=0. Для получения из линейного однородного уравнения характеристического уравнения необходимо заменить функции y единицей, а y' и y" соответствующими степенями k.

Объяснить способ записи его решения в зависимости от корней характеристического уравнения. 45. Дать определение арифметической прогрессии и изложить ее свойства.

Арифметическая прогрессия – это последовательность каждый член которой, начиная со 2-го равен предыдущему, сложенному с постоянным числом.

d – Разность прогрессии

1.

2. – общий член прогрессии

3. Характеристическое свойство прогрессии:

4. Сумма 2-х членов конечной арифметической прогрессии, равностоящих от начала и конца - величина постоянной и равная сумме ее крайних членов.

5. Сумма членов 1-х n арифметической прогрессии равна полу сумме ее крайних членов умноженных на количество членов прогрессии.

46. Дать определение геометрической прогрессии и изложить ее свойства.

ГП-Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему, умноженному на одно и тоже отличное от нуля число. св-ва: 1)Последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого n > 1 верно равенство(bn^2=bn-1*bn+1 (n,n-1,n+1 пишешь как нижний префикс.т.е. степень тока снизу)). 2)Квадрат любого (кроме первого) члена геометрической прогрессии равен произведению равноотстоящих от него членов. 3) Каждый член геометр прогрессии начиная со второго равен среднему геометр двух соседних с ним членов

47. Дать определение числового ряда. Определить понятия сходимости и суммы ряда. Изложить основные свойства рядов.

Числовой ряд – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности {an} называется числовым рядом: a1 + a2+ a3 + … + an+ … = +=∑ nk=1 an Числовой ряд 1 –назыв.сходящимся, если последовательность его n-х частных сумм имеет предел при n ∞. Если предел бесконечен или не существует, то ряд расходится. Св-во рядов: 1) Сходимость ряда не нарушится если все его члены умножить на одно и тоже отличное от нуля число. ( a1+a2+..+an=∑ nk=1 *an=S1 ) 2) Сумма (разность) 2 сходящихся рядов есть ряд расходящийся. ( a1+a2+..+an=∑ nk=1 *an=S2 ) Следствие: если ряды 1 и 2 сходятся, то для любых чисел С1 и С2 ряд с общим членом Vn=C1 an -+ C2b2 и их сумма = С1S1 +_ С2S2 3) Сходимость ряда не нарушится если изменить конечное число его членов. 4) Остаток ряда и его свойства: n-м остатком ряда называется ряд полученный из исходного отбрасыванием его первых n-членов . Rn=a1+1+an+t+…=∑ nk=1 –ряд, если ряд сходится, то Rn=S-Sn. 5) Числовой ряд сходится либо расходится одновременно. Если ряд сходится, то сумма n-го остатка 0.

48. Определите понятие остатка ряда и изложить его свойства. Сформулировать и доказать необходимое условие сходимости числового ряда и его следствие.

Остаток ряда и его св-во. n-ым остатком ряда называется рад, полученный из исходного отбрасыванием его 1-ых n-членов. Формула : . Если сходится, то . Необходимые условия сходимости. Для того, что бы ряд сходился необходимо, чтобы придел его n-го члена при n- был равен 0. Необходимое условие, если сходится, но не достаточно: lim . [ -2-ой замечательный придел.

-Следствие из признака сходимости: 1)lim - ряд рас? - ряд рах?

49. Сформулировать достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов – признаки сравнения, Д’Аламбера и Коши.

Для того, я чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена

Признаки сравнения, Д’Аламбера и Коши

Признак Д’Аламбера

Пусть начиная с некоторого номера n= все члена ряда положительны и существует предел отношения последующего члена ряда предела. n=

Радикальный признак Коши

Если начиная с некоторого номера все члены ряда не отрицательны и существует предел то если

50. Дать определения абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов. Сформулировать достаточный признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда. Изложить свойства абсолютно сходящихся рядов.

Знака переменные ряды – это ряды содержащие положительные и отрицательные члены и 0. Условная сходимость – если сам ряд сходится, а его модуль расходится. Абсолютная сходимость – если ряд сходится, и его модуль сходится. Признак Лейбница: Абсолютные величины с членами исходного ряда │A1│≥│a2│≥│a3│≥…│an│≥… -образуют монотонную последовательность (-1)n*1/n - ряд Лейбница. Следствие из признака: S≤a1; │Rn│≤an+1 Сво-во абсол.сходимости (условие абсолютной сходимости) : Если ряд сходится, то он сходится

51. Дать определения знакочередующегося ряда. Сформулировать условия сходимости по признаку Лейбница. Знакопеременный ряд - ряд, который содержит как положительные так и отрецательные члены, включая нуль. Условие сходимости: 1)lim an=0 2)абсолютные величины членов искомого ряда образуют монотонную не возрастающую последовательность(ряд Лейбница)

52. Дать определение функционального ряда, его суммы, остатка и области сходимости. Сформулировать признаки сходимости Д’Аламбера и Коши для функционального ряда. Функциональный ряд – ряд, членами которого являются функции. Остаток фун. Ряда – ряд полученый отбрасыванием первых н-членов. Область сходимости – некоторый промежуток числовой прямой. Даламбера: 〖Lim〗_(n→∞ U_(n+1 (x))/(U_n (x)))=C(x) тогда в тех точках х для которых C(x)<1 –сх С(x)>1 – p С(x)=1 - ? Коши: 〖lim〗_(n→∞√(n&Un(x) ))=C(x) C(x)<1 –сх С(x)>1 – p

53. Дать определение степенного ряда, его суммы, остатка и области сходимости. Изложить свойства степенных рядов.

Степенной ряд - это ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x.

Сумма степенного ряда - это функция, непрерывная в интервале сходимости ряда:

S(x)=a0+a1x+a2x(\2)+..+anx(\n)+.. (-R<x<R).

Остаток ряда – это ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов.

Область сходимости - это множество значений x, при которых степенной сходится.