30. Записать формулы для интегрирования иррациональных выражений, содержащих квадратный трехчлен. Вывести формулу выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

Интегралы вида Для вычисления интеграла I₁ выделяется полный квадрат под знаком радикала:

и применяется подстановка:

, dx=du.

В результате этот интеграл сводится к табличному:

В числителе интеграла I₂ выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

где I₁ – вычисленный выше интеграл.

Вычисление интеграла I₃ сводится к вычислению интеграла I₁ подстановкой:

Интеграл вида Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

Квадратный трехчлен ax²+bx+c путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:

Интеграл подстановкой u=ksint (или u=kcost)

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

31. Дайте понятие о рационализация иррациональных функций с помощью подходящих подстановок. Запишите и объясните подстановки, применяемые при интегрировании дробно-линейных иррациональностей.

Рационализация иррациональных функций с помощью подходящих подстановок – это интегрирование иррациональной функции с целью её приведения к рациональной функции, Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегрирование дробно–линейных иррациональностей (рационализация)

1. и т.п. Если имеются такие корни, то выражение преобразовывается в рациональную дробь с помощью подстановки х=t^k, где k – наименьшее общее кратное чисел показателей корня.

2) и т.п. Выражение рационализируется с помощью подстановки ax+b=t^k, где k – наименьшее общее кратное чисел показателей корня.

3) Если выражение под знаком интеграла содержит корни вида:

и т.п., то оно приводится к рациональной дроби с помощью подстановки t^k, где к – наименьшее общее кратное чисел показателей корня.

32. Сформулировать задачу о площади криволинейной трапеции. Определить понятие определенного интеграла через предел интегральной суммы функции. Сформулируйте теорему и запишите формулу Ньютона-Лейбница. Объясните алгоритм вычисления по ней определенного интеграла.

Задача о криволинейной трапеции:

Дана криволинейная трапеция, ограниченная отрезком оси Ox, графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции и прямыми. Требуется найти площадь S этой криволинейной трапеции.

Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия

1. С помощью точек х0=а, x1, х2, ..., хn = В (х0 <x1 < ...< хn) разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезков [х0;х1], [x1; х2],..., [хn-1,хn] (см. рис. 167).

2. В каждом частичном отрезке [xi-1;xi], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку сi є [xi-1; xi] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(сi).

3. Умножим найденное значение функции ƒ (сi) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (сi) • ∆хi.

4. Составим сумму Sn всех таких произведений:

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆xi(i = 1,2,..., n).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0.

Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом,

(понятие через предел интегральной суммы)

Формула Ньютона-Лейбница:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) её первообразная на этом отрезке, то справедлива формула:

33. Дайте определение определенного интеграла и изложите его общие свойства. Сформулируйте теоремы о необходимых и достаточных условиях интегрируемости функций.

33. Если существует предел интегральной суммы при который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек на каждом частичном отрезке, то этот предел называется определенным интегралом функции f (x) на отрезке [a; b] и обозначается

Таким образом,

Свойства:

Свойства определенного интеграла

1)

2)

3)

равенства 2 и 3 в совокупности называются свойством линейности;

4)

5)

6) значение интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

7) свойство аддитивности: при любом взаимном расположении чисел a, b, c имеет место формула:

8) если при то

9) если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [a; b], то верна оценка

10)

11) если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует точка такая, что

12) если f (x) – нечетная функция, то

13) если f (x) – четная функция, то

14) если f (x) – периодическая функция периода T, то при любом верно равенство

Предполагается, что все интегралы, приведенные в свойствах 1–14, существуют. 34. Определите суть метода подстановки в определенном интеграле. Сформулируйте теорему о замене переменной в определенном интеграле. Изложите последовательность подстановки.

34. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции

сделана подстановка х = φ(t).

Если:

1) функция х = φ(t) и ее производная х' = φ'(t) непрерывны при t є [а;β];

2) множеством значений функции х = φ(t) при t є [а,β] является отрезок [а; b];

3) φ(а)=а и φ(β)=b.

то

Вместе с заменой переменной в определенном интеграле заменяются пределы интегрирования.

Последовательность подстановки:

1.Применим подстановку

2. Подставляя полученные значения в искомый интеграл

3. Теперь подставив значение в полученное выражение

35. Разъясните сущность метода интегрирования по частям в определенном интеграле. Записать формулу интегрирования по частям определенного интеграла и доказать ее.

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция представима в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующая формула для определённого интеграла:

Доказательство формулы:

36. Определите геометрический смысл определенного интеграла. Поясните, как вычисляется площадь плоской фигуры в прямоугольной декартовой системе координат. Запишите соответствующие формулы .

1.Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a,b], то интеграл b(в)a(н)f(x)dx представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=0,x=a,x=b,y=f(x) 2.площадь плоской фигуры в прямоугольной декартовой системе координат -по формуле S=ин.d(в)c(н) q1(y)-q2(y) dy

Ф-ла ньютона-лейбница:

Формула определённого интеграла:

Криволинейная трапеция это фигура ограниченная графиком непрерывной, неотрицательной функции y=f(x) отрезками прямых x=a, x=b

X э [a;b]

Дельта xi=xi+1-xi

Si=дельта xi*mi

Si=дельта xi*Mi

Si= дельта xi*f(Ci)

Будем рассматривать всевозможные разбиения отрезка АВ при условии что n стремится к бесконечности , а max дельта xi cтремится к 0.

37. Для каких вычислений применяется определенный интеграл в геометрии? Запишите и поясните формулы для вычисления объема тела по известным площадям его поперечных сечений и для объема тела вращения.

1. определенный интеграл применяется в геометрии для геометрических и физических вычислений 2. Получите формулу для вычисления объема тела по известным площадям его поперечных сечений и для объема тела вращения. 1) S=ин.b(в)a(н) S(x)dx 2) V=П*ин.b(в)a(н) (f(ф))2(кв)*dx следует S=2П|ин.b(в)a(н) f(x)*(корень) 1+(f'(x))2*dx

38. Определите понятие несобственного интеграла I рода, сформулируйте его свойства. Запишите формулы Ньютона-Лейбница и объясните процесс вычисления по ней несобственных интегралов.

Пусть функция y=f(x) непрерывна при любом x≥0. Рассмотрим интеграл с неопределённым верхним пределом “I(b) = ^b∫_a f(x)dx”

Предположим, что при b→+∞ функция имеет конечный предел то этот предел называеться сходящийся несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,+∞) и обозначается как: ^+∞∫­_a f(x)dx = lim_b→∞ ^b∫_a f(x) dx.

Если предел не существует или = бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящемся.

Геометрически несобственный интеграл от неотрицательной функции выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), слева – отрезком прямой x=a, снизу осью Ох.

Эта площадь является конечной, в случае расходящейся – бесконечной.

^+∞∫­_a f(x)dx = lim_b→∞ ^b∫_a f(x) dx = lim_b→∞ (f(b) – f(a)) = f(+∞) – f(a), где f(+∞)=lim_b→+∞ f(b).

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

^b∫­_-∞ f(x)dx = lim_b→-∞ ^b∫_a f(x) dx.

И несобственный интеграл с общим бесконечным пределом ^+∞∫_-∞f(x)dx=^c∫_-∞f(x)dx+^+∞∫_c f(x)dx

Где с – любая точка из интеграла (-∞, +∞).

Если три x≥a выполнены неравенства 0≤ⱷ≤f(x) и ^+∞∫_c f(x)dx сходиться , то сходится и ^+∞∫_c ⱷ (x)dx, причём ^+∞∫_c ⱷ (x)dx ≤ ^+∞∫_c f(x)dx если ^+∞∫_c ⱷ (x)dx расходиться, то расходиться и ^+∞∫_c f(x)dx. Если в промежутке (а, +∞) функция f(x) изменяет знак и ^+∞∫_c |f(x)|dx сходиться, то сходиться также и ^+∞∫_c f(x)dx

39. Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка, общего и частного решения. Сформулировать теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Сформулировать задачу Коши для ДУ высших порядков.

Дифференциальные уравнения – уравнения, которые связывают между собой независимую переменную Х и искомую функцию Y и её производные различных порядков по переменной Х.

Порядок дифф.ур.-порядок старшей производной в данном ур. (y⁴-y³-e^x=0 – 4 порядок).

Общее решение дифф.ур. – y=µ (X,C₁,C₂,…,C_N), которое содержит столько произвольных постоянных каков порядок ур.

Всякое решение, которое получается из общего при конкретных значений произвольных постоянных – частное решение. Для нахождения частного решения требуется задать дополнительные условия – условия Коши.

Теорема о существовании и единственности решения ду: Пусть функция f(x, y, p₁, p₂, …, p_n-1) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в некоторой области D и пусть точка (x₀, y₀, y₁, y₂, …, y_n-1) принадлежит области D. Тогда в некоторой окрестности точки x₀ существует решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Это решение единственно.

Коши для ДУ высших порядков: уравнение вида F(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0, где F - известная функция (n+2) переменных, определенная в области D, x - независимая переменная из интервала (a, b), y = y(x) - неизвестная функция, n - порядок уравнения.

40. Дать определения дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения. Сформулировать задачу Коши для ДУ-1. Записать дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Объясните способ его решения.

1.дифференциальнным уравнения 1-го порядка и формула..так называется уравнение которое связывают между собой независимую переменную Х , и искомую функцию У , и ее производные различных порядков по переменной Х. F(x,y,y'...y(ст.n))=0 -неявная ф-ия y(ст.n))=f(x,y,y'...y(ст.n-1))) - нормальная ф-ия 2.1.общего решения ДУ-1 – наз. такое уравнение : y=ф(x,c1,c2...c(ст.n)) которое содержит столько производных постоянных каков порядок самого уравнения. 2.2.Всякое реш.д.у. которое получ.из общего реш.при конкретных знач.произвольных постоянных назыв.частными. 2.3.Сформулируйте задачу Коши для ДУ-1: y(x0)=y0 y'(x0)=y'0 y(ст.n-1)(x0)=y0(ст.n-1) Задачу Коши для ДУ-1 – для нахождения частного решения необходимо задание дополнительных условий .

41. Определите понятие однородной функции порядка n. Записать однородное дифференциальное уравнение первого порядка и объяснить способ его решения.

Функция ƒ(x;y) называется однородной функцией N-го поpядкa (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на A^N, т. е. F(λ*x; λ*y)= λⁿ*f(x;y).

^{= - однородная функция} первого порядка

Линейное дифференциальное неоднородное уравнение I-го порядка с произвольными коэффициентами имеет общий вид:

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение первого порядка:

42. Записать линейное однородное и неоднородное дифференциальное уравнения первого порядка. Изложить решение линейного ДУ-1 по методу Бернулли.

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида: называется уравнением Бернулли (при n = 0 или n = 1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

Способ решения:

^{Заменим , тогда . Подберем так, чтобы было . Для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения U получаем уравнение -- уравнение с разделяющимися переменными}.

43. Перечислите виды интегрируемых ДУ-2. Сформулировать задачу Коши для ДУ-2. Изложите способ решения простейших дифференциальных уравнений высших порядков, методом понижения порядка дифференциального уравнения.

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений. Состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям. Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием. Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t = 0, а решение отыскивается при t > 0. задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y = f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x0,y0) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y = f(x). Точка (x0,y0) задаёт начальные условия. задачей Коши для уравнения n–го порядка y(n) = f (x, y, y ', ..., y(n - 1) ) называется задача отыскания решения y = y(x), удовлетворяющего начальным условиям Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка. Уравнения вида y(n) = f(x). Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.