Свойства неопределенного интеграла:

1. d∫f(x)dx=f(x)dx;

2. ∫F’(x)dx=F(x)+C;

3. Неопределенный интеграл от алгебраич. суммы ф-ции равен сумме неопределенных интегралов этой функции;

4. ∫k*f(x)dx=k∫f(x)dx;

5. ∫f(x)dx=F(x)+C.

23. Сформулируйте сущность метода замены переменной внеопределенном интеграле. Изложите теорему о замене переменной в неопределенном интеграле и запишите соответствующую формулу. Разъясните последовательность подстановки.

1.сущность метода замены переменной в неопределенном интеграле-Пусть требуется найти инт.f(x)dx, где функция f(x) непрерывна на некотором интервале x . Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив x=ф(t) , где ф(t) - функция непрерывно дифференцируемая на некотором интервале T . Последовательность подстановки:

1. Определить, какую часть выражения следует заменить и обозначить ее новой переменной;

2. Найти дифференциалы левой и правой частей записи;

3. Выразить дифференциал старой переменной или выражение, содержащее этот дифференциал через дифференциал новой переменной;

4. Все подставить под интеграл;

5. По таблице найти неопределенный интеграл от функции;

6. Вернуться к исходной переменной.

24. Сформулируйте сущность метода интегрирования по частям неопределенного интеграла. Выведите формулу интегрирования по частям неопределенного интеграла.

1.сущность метода интегрирования по частям неопределенного интеграла-если подъинтегральная функция представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций 2.формула интегрирования по частям неопределенного интеграла: d(uv)=udv+vdu uv=Sudv+Svdu инт.udv=uv-инт.vdu 25. Дайте определение целой и дробно-рациональной функций. Сформулируйте правило интегрирования целой рациональной функции и неправильной рациональной дроби.

1.Функции вида f(x)=p(x), где p(x) - многочлен, называют целыми рациональныи функциями. Функции вида f(x)=p(x)/q(x), где p и q - многочлены, называют дробно-рациональными функциями. 2. правило интегрирования неправильной рациональной дроби: это деление числителя на знаменатель. ВСЕ недостающие степени (и (или) свободные члены) без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами. два слагаемых, первое – интегрируется совсем просто, а второе – правильная дробь выполняем проверку. От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель дроби раскладываем на множители Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей 26. Дать определение правильной рациональной дроби и записать виды простых дробей.. Изложить правило интегрирования правильной рациональной дроби. Раскрыть сущность разложения рациональной функции на сумму простых дробей.

виды простейших дробей: 1)A/x-a 2)A/(x-a)ст.(k) 3)Ax+B/x2+q+px 4)Ax+B/(x2+q+px)ст.(k) 5)k>2; nЭN; x,A,B,a,b,q,pЭR; D<0 интегрирование способ интегрирования правильной рациональной дроби-чтобы инт.правил.дробь её вначале след.представ.в виде суммы простейших дробей ,а затем проинтегр.каждое слаг.отдельно 27 Запишите представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей. Изложите методы нахождения коэффициентов разложения рациональной дроби на простейшие (метод неопределенных коэффициентов).

Смотрим, правильная ли дробь (степень числителя должна быть меньше степени знаменателя). Если дробь неправильная, то делим столбиком числитель на знаменатель. Раскладываем знаменатель на множители. Правильную рациональную дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами. Приводим последнюю сумму к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х. Решаем полученную систему уравнений, находим неопределенные коэффициенты. 28. Записать интегралы от простых дробей и разъяснить способ их вычисления..

1.интегралы от простейших дробей I и II типов.

1)инт.(A/x-a)dx=A(инт)d(x-a/x-a)=|x-a=t;dx=dt|=A(инт)dt/t=Aln|t|+C=Aln|x-a|+C

2)инт.(A/(x-a)ст.(n))=A(инт)(x-a)(ст.(-n))*d(x-a)=A(x-a)(ст.(-n+1))/-n+1 +C

2.интеграл от простейших дробей III типа:

1) Для начала представляем неопределенный интеграл в виде суммы простейших дробей

2) Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала

3) У полученного интеграла преобразовываем знаменатель

x(кв.)+px+q=x(кв.)+2*(p/2)*x-p(кв.)/4-p(кв.)/4=B(инт.)dx/((x+p/2))(кв.)+(q-p(кв.)/4=|x+p/2=t;dx=dt| 29. Запишите основные типы интегралов от тригонометрических функций. Записать и разъяснить основные формулы и подстановки, применяемые при интегрировании тригонометрических функций. Объясните способы их вычисления.

Интегралы вида Универсальная подстановка. Будем рассматривать интегралы вида:

- (7)

при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными ранее. Иногда бывает достаточно преобразовать подынтегральное выражение, использовав тригонометрические формулы, применить методы «подведения» множителя под знак дифференциала, замены переменной или интегрирования по частям.

Для вычисления интеграла вида (7) существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке .

Интегралы вида (m, n є Z, m ≥ 0, n ≥ 0). Если хотя бы одно из чисел m и n – нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin²x+cos²x=1 оставшуюся четную степень через конфункцию, приходим к табличному интегралу.

Интегралы вида , , (n є N, n > 1). Эти интегралы вычисляются подстановками tgx= t и ctgx=t соответсвенно.

Если t=tgx, то x=arctgt, . Тогда:

.

Последний интеграл при n ≥ 2 является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.

Аналогично если t=ctgx, то x=arcctgt, , откуда:

Интегралы вида (m, n є R). Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам: