Статистический подход к определению вероятности. Вычисление вероятностей сложных событий. Условные вероятности. Формула Байеса
1. Определение вероятностей случайных событий
Дан ящик, в котором 5 радиодеталей - 1 сорта, 7 радиодеталей - 2 сорта. Определить вероятность того, что первая наудачу выбранная деталь – деталь 1 сорта.
Решение: Событие А – выбранная деталь первого сорта.
Р(А)
= 5/12
Событие В – две выбранные детали первого сорта
С²5 10 5
Р(В) = = =
С²12 66 33
Событие С – одна из деталей 1 сорта, другая – 2 сорта.
С¹5 · С¹7 35
Р(С) = =
С²12 66
Пример: Определить вероятность встречи двух радиостанций в радиоэфире за промежуток времени Т, если выход в радиоэфир каждой радиостанции случаен и равновозможен в любой момент времени Т. Каждая радиостанция работает в радиоэфире .
Решение:
х – момент выхода в эфир 1 РЭС. 0 х Т
y – момент выхода в эфир 2 РЭС 0 y Т
Событие А – встреча РЭС
х-y , по модулю так как х,y – неизвестны.
Y
Т
Т² - (Т
- )²
Р(А)
=
Т²
Т-
Т Х
2. Определение вероятностей совместных событий
Пусть дано вероятностное пространство (, œ, Р), А œ В œ, А·В.
В курсе Высшей математике доказывается теорема: Р(АUВ) = Р(А) + Р(В) - Р(А·В).
Замечания: _ _
АUВ = А·В U А·В U А·В.
_ _
Р(АUВ) = 1 - Р(Ā·В). А U В =\А ·В
_ _ _
Р(АUВUС) = 1- Р(АUВUС).
Пример: Для обнаружения объекта выделено два радиолокатора. Определить вероятность обнаружения объекта хотя бы одним средством..
Решение: событие А – обнаружит 1 радиолокатор.
событие В – обнаружит 2 радиолокатор.
Р(А) = 0,8. Р(В)= 0,9. Р(АВ) = 0,72.
1 способ С = АUВ, Р(С) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,8 + 0,9 – 0,72 = 0,98.
_ _
2 способ Р(С) = 1 – Р(А В) = 1 – 0,02 = 0,98.
3. Определение условной вероятности
Пусть дано вероятностное пространство (, œ, Р). Будем предполагать, что в результате опыта событие В произошло.
Определение: Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называется отношение вероятности произведения события А и В к вероятности события В:
Р(АВ)
Р(А/В)
= Р(В)
0
Р(В)
Проверим выполняемость аксиом:
As1 Р(А/В) 0, так как Р(А В) 0, Р(В) 0.
As2 (нормировка) Р(/В) = Р( В) / Р(В) = Р(В)/Р(В) = 1.
As3 (аддитивности (сложения)) А1 и А2 – несовместные события.
Р((А1UА2) В) Р(А1 В) + Р(А2 В) Р(А1/В) Р(А2/В)
Р
(А1UА2
/В) = = =
=
Р(В) Р(В) Р(В)
= Р(А1/В) + Р(А2/В).
Итак построено условное вероятностное пространство (/В, œ/В, Р/В). Для решения многих практических задач оно строится легче, чем безусловное.
В курсе теории вероятности доказывается теорема умножения:
Р (А В) = Р (В) Р(А/В)
П
ример:
В ящике 12
радиодеталей, из них 8 годных 4 негодных.
Определить вероятность того, что
две наудачу извлечённые детали – годные.
Решение:
Событие В – 1-я извлечённая деталь годная.
Событие А – 2 –я извлечённая деталь годная.
Р(А В) = 8/12 + 7/11 = 14/33.
Замечание: (теорема умножения для трёх событий)
Р (А В С) = Р(С) Р(В/С) Р(А/ВС).
События А и В называются независимыми (взаимонезависимыми) если выполняется условие Р (А В) = Р (А) Р(В), в противном случае они зависимы.
Признак независимости. События А и В независимы тогда и только тогда когда Р(А/В) = Р(А) или Р(В/А) = Р(В).
События А1,…Аn называются независимыми в совокупности если Р(А1 А2 … Аn) = Р(А1) Р(А2) … Р(Аn).
Из независимости в совокупности следует попарная независимость случайных событий, а из попарной независимости, вообще говоря, не следует независимость в совокупности.
Если А и В независимы, то независимы будут следующие пары событий:
_ _ _ _
А и В А и В А и В
На практике реально независимость событий не определяют, о ней судят из физических соображений, то есть из условий опыта.