6. Непрерывная случайная величина

Случайная величина Х называется СВ непрерывного типа, если:

1. Её возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток числовой оси.

2. Существует неотрицательная функция f(х), называемая плотностью распределения вероятности, такая что для всех х (Х)

+∞

P(Х<х) = ∫ f(х)dx = F(x)

-∞

f(x) – называется дифференциальной функцией распределения СВ.

F(x) – плотностью распределения вероятности.

Пример:

1

b – a , х[a,b]; Найдём F(x).

f(x) =

0, x[a,b]. Решение: a) х  a: F(x)=P(xX) =0;

x a x

б) a  x  b: F(x) = ∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt + ∫ f (t)dt =

-∞ -∞ a

x-a

F(x) = 0 + 1 / b-a · (x-a)= b-a

1

b-a +∞ a b

в) x > b: F(x) = ∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt +∫ f(t)dt +

x x -∞ a

+∫ f (t) dt = 0 + 1 + 0 = 1

b

0 a b x

7. Числовые характеристики случайной величины

Математическое ожидание и его свойства

Математическое ожидание (МО) с вероятностной точки зрения характеризует «центр» случайной величины, то есть точку около которой группируются возможные значения случайной величины.

Если (для ДСВ), каждому возможному значению СВ приписать определённый “вес”, то математическое ожидание есть – координата центра тяжести. В этом состоит физический смысл понятия математическое ожидание.

Пример: Пусть задан закон распределения ДСВ (исходы бросания игральной кости).

Х	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

М(Х) = m _x = 1/6 (1+2+3+4+5+6) = 3,5.

Часто математическое ожидание СВ называют средним арифметическим значением СВ.

n

∑ хi pi - для ДСВ

М(Х) = i=1 b

∫ f(х) Х dx - для НСВ

a

Основные свойства Математического ожидания:

1. Если СВ Х  0, то есть все возможные значения её больше, либо равны нулю, то М(Х)  0.

2. Математическое ожидание константы (const), равно самой константе. Доказательство:

Х	С
Р	1

М(С) = С·1 = С. М(m_x) = m _x (математическое ожидание от математического ожидания равно математическому ожиданию).

3. М(С·Х) = СМ(Х).

4. М(X+Y) = М(X) + M(Y). M(X+C) = M(X) + C.

5. Если X и Y независимые случайные величины, то:

M(X·Y) = M(X)·M(Y).

Дисперсия случайной величины и её свойства

Разность между случайной величиной и её математическим ожиданием называют центрированной случайной величиной:

df

Х – m _x = Хº.

M(Хº) = M(X - m _x) = M(X) – m _x = 0.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины.

df df

Д (Х) = М(Хº)². Д(X) = М(Х – m _x)².

Дисперсия характеризует меру рассеивания значений случайной величины, около её математического ожидания. Она имеет размерность математического ожидания возведённого в квадрат.

n

∑ (хi - m _x)² pi - для ДСВ

Д(Х) = i=1 b

∫ (х - m _x)² f(х) dx - для НСВ.

a

Свойства дисперсии:

1. Д(Х)  0 (неотрицательность), причём Д(Х)=0 тогда и только тогда, когда Х – константа, так как Д(С)=0.

2. Д(СХ) = С²Д(Х) .

3. Д(X+Y) = Д(X) + Д(Y).

4. Д(X-Y) = Д(X) + Д(Y), так как Д(X-Y) = Д(X +(-1)Y) = Д(X) + (-1)²Д(Y) = = Д(X) + Д(Y).

5. Д(Х) = М(Х²) – m _x², так как Д(Х) = М(Х – m _x)²= М(Х² – 2Х m _x + m _x²) = = М(Х²) – 2 m _x М(Х) + m _x² = М(Х²) – 2 m _x² + m _x² = М(Х²) – m _x².

Ещё одной характеристикой случайной величины является среднее квадратическое отклонение СВ от её математического ожидания. Оно определяется как:

 х = Д(Х).

Для равномерного дискретного распределения ДСВ Х

n+1

М(Х) = 2

n² - 1

Д (Х) = 12 (х) = Д(Х).

Равномерный дискретный закон встречается когда все значения ДСВ равновероятны. При передаче цифровых данных, обычно вероятности появлений каждой цифры одинаковы и поэтому имеют равномерное распределение.

Для биномиального распределения, когда ДСВ Х принимает

k k n-k

целые неотрицательные значения и Pk = P(X=k) = Cn · p ·q , где p – вероятность появления события А в каждом конкретном испытании. q = 1-p, существуют следующие формулы расчёта:

М (Х) = p·n. Д(Х) = n·p·q. (х) = Д(Х).

Существуют и другие виды законов распределения СВ: распределение Пуассона, Релея, показательное, нормальное (закон Гаусса) и другие.

Закону Пуассона соответствует распределение числа разговоров, регистрируемых на АТС в течение периода времени, распределение числа электронов выбывших из катода электрорадиолампы за период времени, а также распределение числа распадающихся за период времени t, атомов радиоактивного вещества.

По показательному закону определяются продолжительности телефонных разговоров в различные периоды суток, распад радиоактивных веществ, сроки безотказной работы приборов.

По закону Релея рассматривается распределение долговечности электронных ламп.

По закону Гаусса распределено самое большее количество случайных величин.

Эти законы рассматриваются в теории надёжности и теории массового обслуживания.

Примеры:

1. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия 0,7. Найти М(Х) общего числа попаданий при 10 выстрелах.

p=0,7 n=10 в данном случае М(Х) = p · n = 0,7 ·10 = 7.

2. Вероятность того, что деталь бракованная 0,06. Определить М(Х), Д(Х) и (х) числа бракованных деталей в выборке состоящей из 50 деталей.

Х- число бракованных деталей в выборке. n=50. q=1-p.

М(Х) = p·n = 0,06·50 = 3.

Д(Х) = n·p·q = 50·0,06·0,94 = 2,82.

 (х) =  2,82 = 1,68

Таким образом, в данной выборке следует ожидать 3  3 бракованных детали.