24. Переходные функции и переходные характеристики сар. Реакция сар на произвольный входной сигнал

Выходной сигнал САР можно определить с помощью обратного преобразования Лапласа:

Если (-t) -  - функция, то F(s)=1 и

= -называется переходной функцией – функцией веса.

Если и , то называют переходной характеристикой.

Поскольку W(s) – дробно – рациональная функция , w(t) и h(t) , могут быть найдены по формулам обратного преобразования Лапласа

или по теореме Хевисайда, или формуле вычетов.

где 1-ая сумма распространяется на простые вещественные корни, а 2-ая на простые комплексные

При наличии кратных корней необходимо применять дополнительные слагаемые.

Реакция САР на произвольный входной сигнал может быть определена с помощью интеграла свертки.

Любое производное воздействие можно представить ступенчатой линией или совокупностью дискретных значений.

* - по оси абсцисс (рис.28) на графике логарифмических характеристик откладывается десятичный логарифм частоты, т.е. lgω, но обычно около отложенных значений lgω пишется значение самой частоты ω. В этом случае масштаб получается логарифмическим. За единицы длины по оси абсцисс принимают октаву или декаду.

Р ис. 30 совокупность дискретных значений

t_i - среднее значение времени в промежутке  t,

f(t_i) – значение функции при t=t_i

25.Типовые звенья сар и их частотные и временные характеристики Апериодическое звено

1) .

2) .

1) h(t) = .

2)

Определим уравнение амплитудно–фазочастотной характеристики (АФЧХ).

Определим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ)

Ф азочастотная характеристика звена .

Рис. ЛАЧХ и фазовая характеристика

Колебательное звено

в операторной форме:

Корни характеристического уравнения

Если:   1 – звено колебательное,   0 – консервативное,   1 – апериодическое 2-го порядка.

Рис. АФХ колебательного звена

Интегрирующее звено

Рис. . Переходная характеристика интегрируемого звена

Рис. Логарифмические характеристики интегрируемого звена

Дифференцирующее звено 1-го порядка

Рис. Переходная характеристика дифференциального звена 1-го порядка

Дифференцирующее звено 2-го порядка

Рис. Переходная характеристика дифзвена 2-го порядка

Запаздывающее звено

26. Устойчивость линейных сар: определение, теоремы Ляпунова, алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Система считается устойчивой, если отклонение выходной величины, возникшей в результате внешнего возмущения, по истечении некоторого времени становится меньше заданного.

Lim|x_вых(t)|≤e t→∞.

Таким образом, если САР выведена из состояния равновесия, а затем предоставлена самой себе, то она должна возвратится в состояние равновесия.

Ляпунов доказал 2 теоремы:

1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения 1-го приближения отрицательные, то собственное движение асимптотически устойчиво независимо от членов разложения выше 1-го порядка малости

2. Если среди корней характеристического уравнения 1-го приближения найдется по меньшей мере один с положительной вещественной частью, то собственное движение неустойчиво независимо от членов разложения выше 1-го порядка малости.

Критические случаи имеют место, когда среди корней имеются корни с нулевой вещественной частью. Тогда вопрос об устойчивости необходимо решать исследованием полного нелинейного дифференциального уравнения.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Устойчивость замкнутой динамической системы, имеющей характеристическое уравнение определяется выполнением следующих условий:

1. коэффициенты характеристических уравнений положительны (необходимое условие);

2. определители - диагональные миноры, образованные последовательным выделением по строкам и столбцам из главного определителя.

начиная с ₁=a_n-1 > 0 (достаточное условие)

Определитель _n составляется следующим образом: главная диагональ состоит из коэффициентов характеристического уравнения. Начиная со второго коэффициента в порядке убывания индексов, заполняются строки: слева - в порядке убывания индексов, справа - в порядке вырастания.