11. Дискретные цифровые сар: математическое описание, z передаточные функции.

М атематическое описание дискретных систем

x(t) – непрерывный сигнал x(k) (k=0, 1, 2, …) – дискретный сигнал Разность первого порядка (1-я разность)

Разность 2-го порядка

Приближенное дифференцирование: .

Число является выходом в момент k.

Числа y(k-n+i) и x(k-m+j) характеризуют предыдущие значения выхода и входа ЦВМ, запоминаемые в памяти.

Это уравнение называют рекурсивным или разностным.

Часто применяется другая форма математического описания дискретных систем

, где w(m) – весовая временная последовательность. Это соотношение – аналог интеграла свертки.

Z-передаточные функции дискретных и цифровых САУ.

Z-преобразование получается из дискретного преобразования Лапласа заменой переменной. Z-преобразование содержит информацию о соответствующей непрерывной функции времени только в дискретные моменты, поэтому оно определяет не непрерывную функцию, а ряд ее последовательных дискретных значений. Введение новой независимой переменной Z=e^sτ позволяет перейти к рациональной функции

Обратное Z-преобразование определяют формулой

где r – некоторый замкнутый контур.

Сигнал на выходе дискретных систем

где w(k) – весовая временная последовательной системы.

Отсюда,

Z-передаточная функция дискретной системы

Для непрерывной части дискретной системы Z-передаточная функция определяется на основе соотношения

Здесь W(t)=L^-1[w(s)]

11. Анализ дискретных сар

Если в Z – передаточной функции, дискретной САР с ЭВМ в контуре управления заменить

W(z)=W_В(z)Z[W_ЭW₀W_ОС]], то можно записать

, при W_О=1.

Характеристическое уравнение имеет вид 1+W(z)=0.

Корни этого уравнения определяют устойчивость системы.

В плоскости комплексной переменной s для обеспечения устойчивости требуется, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости. В плоскости комплексной переменной cудить об устойчивости можно, если отобразить левую полуплоскость в соответствующую область плоскости Z. Мнимой оси соответствует единичная окружность.

Комплексные корни соответствуют

Отрицательная вещественная часть корня

следовательно, левая полуплоскость полуплоскости s отображается во внутреннюю часть единичной окружности.

Таким образом, дискретная система устойчива, если все корни характеристического уравнения располагаются внутри единичной окружности.

23. Логарифмические частотные характеристики сар.

Решение неоднородных дифференциальных уравнений одномерной САР состоит из двух составляющих:

- общего решения однородного дифференциального уравнения X_cв(t), характеризующего свободное движение или переходный процесс;

- частного решения неоднородного дифференциального уравнения X_в(t), характеризующего вынужденное движение.

Таким образом

Переходной процесс.Интеграл уравнения D(s) Xвых (s) = 0 ищем в следующем виде:

где s_i – вещественные и комплексно-сопряженные корни уравнения. D(s) = 0;C₁ , C₂ , …. C_n - постоянные, зависящие от начальных условий.

Линейная САР, у которой переходной процесс затухает называется устойчивой, то есть

При этом вещественные части корней s_i должны быть отрицательны.Вынужденное движение.

Если на вход САР подается гармонический сигнал , то его можно разложить по формуле Эйлера:

Представим Тогда

A () - АЧХ. () - ФЧХ. W(i) – AФЧХ.

При анализе САР широко применяется графический метод.

1. При 0 <  < _c А()А(0) и диапазон частот от 0 до _с называется полосой пропускания,

где _с – частота среза по уровню или ;

2. При  = _m A() принимает максимальное значение и _m называется резонансной частотой.

Очень удобны с практической точки зрения логарифмические частотные характеристики, которые получаются путем логарифмирования W(j): ; L(),дб=20lgA()–называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ).()-логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ) (*)

Октава – диапазон частот между  и 2  lg 2  - lg  = lg 2

Декада – диапазон частот между  и 10  lg 10 - lg = 1

Рис. График логарифмических характеристик