Тема: Повторні незалежні випробування. Схема і формула Бернуллі. Найбільш імовірне число “успіхів”. Граничні теореми для схеми Бернуллі план
І. Актуалізація опорних знань.
Які випробування називають незалежними?
Які події називаються складними, простими? Наведіть приклади.
Виведення й зміст формули Бернуллі.
Які задачі розв’язуються за допомогою теореми Пуассона?
В яких випадках доцільно застосовувати локальну теорему Лапласа?
Інтегральна теорема Лапласа.
Необхідність і зміст граничних теорем.
ІІ. Розв’язування вправ (непарні задачі).
6.1. Ймовірність події в кожному з однакових і незалежних дослідів дорівнює р. Знайти ймовірність того, що в п дослідах подія настане k разів:
а) р=0.2, п=7, k=5;
б) р=0.3, п=10, k=7.
6.2. У середньому 60% виробів підприємства – продукція вищої якості. Яка ймовірність того, що серед 7 виробів 4 – вищої якості?
Відповідь: 0.29.
6.3. У суді 7 присяжних. Кожен з них в одному з трьох випадків виносить несправедливий вирок. Яка ймовірність того, що на суді буде винесено справедливий вирок?
Відповідь: 0.8267.
6.4. Монета підкидається 5 разів. Яка ймовірність того, що гербів випаде більше ніж цифр?
Відповідь: 0.5.
6.5. Зростання насіння складає 70%. Яка ймовірність того, що з 10 насінин зійде: а) вісім; б) не менше восьми.
Відповідь: а) 0.2335; б) 0.3828.
6.6. На фабриці, що виготовляє олівці, брак складає 3%. Яка ймовірність того, що при покупці 5 олівців принаймні 2 будуть якісними?
Відповідь: 0.9985.
6.7. У сім'ї п'ять дітей. Знайти ймовірність того, що серед цих дітей: а) три хлопчика; б) не більше двох хлопчиків; в) більше двох хлопчиків; г) не менше двох і не більше трьох хлопчиків. Ймовірність народження хлопчика прийняти рівній 0,51.
Відповідь: а) 0.32, б) 0.48, в) 0.52, г) 0.62.
6.8. Відомо, що ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,515. Яка ймовірність того, що в сім’ї з трьох дітей не менше двох дівчаток?
Відповідь: 0.2078.
6.9. Два рівносильних шахіста грають в шахи. Що ймовірніше: виграти дві партії з чотирьох чи три партії з шести (нічию до уваги не брати)?
Відповідь: ймовірніше виграти дві партії з чотирьох.
6.10. Два рівносильних шахіста грають в шахи. Що ймовірніше виграти: три партії з шести чи чотири з восьми (нічию до уваги не брати)?
Відповідь: ймовірніше виграти три партії з шести.
6.11. У результаті багаторічних спостережень встановлено, що ймовірність випадання дощу 1 липня в м. Кіровограді дорівнює 4/17. Визначити найімовірніше число дощових днів 1 липня в м. Кіровограді за найближчі 50 років.
Відповідь: 11;12.
6.12. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі становить 0.95. Знайти найімовірніше число влучень при 150 пострілах.
Відповідь: 142.
6.13. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих основних елементів. Пристрій відмовляє, якщо відмовить хоча б один елемент. Ймовірність відмови кожного елемента за час t рівна 0,1. Знайти ймовірність безвідмовної роботи пристрою за час t, якщо: а) працюють тільки основні елементи; б) включений один резервний елемент; в) включені два резервні елементи. Вважають, що резервні елементи працюють у тому ж режимі, що й основні, ймовірність відмови кожного резервного елемента також рівна 0,1 і пристрій відмовляє, якщо працює менше трьох елементів.
Відповідь: а) 0.729, б) 0.95, в) 0.99.
6.14. Автопідприємство має 12 машин. Ймовірність виходу на лінію кожної з них дорівнює 0,8. Визначити ймовірність нормальної роботи автопідприємства, якщо для цього необхідно мати на лінії не менше 8 машин.
6.15. В ящику 10 деталей. Скільки потрібно ящиків, щоб ймовірність хоча б однієї бракованої деталі була не менше 0,8, якщо ймовірність браку дорівнює 0,01?
6.16. Ймовірність того, що при випробуванні пристрій відмовить, рівна 0,2. Скільки пристроїв треба випробувати, щоб з ймовірністю не меншою 0,9 відмовило не менше трьох пристроїв?
6.17. Стрілок стріляє в ціль до першого влучення. Знайти ймовірність того, що у стрільця залишиться хоча б один не використаний набій, якщо він отримав десять набоїв і ймовірність попадання в ціль при кожному пострілі постійна і рівна 0,2.
6.18. Квадрат зі стороною а розділений на два прямокутники, сторони яких рівні відповідно а, а/3 і а, 2а/3. На цей квадрат кидають 6 точок. Яка ймовірність того, що в великий прямокутник попало 3 точки?
7.1. Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться рівно 70 разів у 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні рівна 0,25.
Відповідь: 0.0231.
7.2. Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться 1400 разів у 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні рівна 0,6.
Відповідь: 0.0041.
7.3. Ймовірність поразки мішені при одному пострілі рівна 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах стрілок поразить мішень рівно 75 разів.
Відповідь: 0.04565.
7.4. Ймовірність народження хлопчика рівна 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених виявиться 50 хлопчиків.
Відповідь: 0.0782.
7.5. Ймовірність
появи події в кожному з 100 незалежних
випробуваннях постійна і рівна
.
Знайти ймовірність того, що подія
з’явиться: а) не менше 75 разів і не
більше 90 разів; б) не менше 75 разів;
в) не більше 74 разів.
Відповідь: а) 0.8882, б) 0.8944, в) 0.1056.
7.6. Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань рівна 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться: а) не менше 1470 і не більше 1500 разів; б) не менше 1470 разів; в) не більше 1469 разів.
Відповідь: а) 0.4236, б) 0.5, в) 0.5.
7.7. Ймовірність появи події в кожному з 21 незалежних випробувань рівна 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться у більшості випробувань.
Відповідь: 0.95945.
7.8. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань рівна 0,8. Скільки потрібно провести випробувань, щоб з ймовірністю 0,9 можна було очікувати, що подія з’явиться не менше 75 разів?
Відповідь: 100.
7.9. Ймовірність появи позитивного результату в кожному з n дослідів рівна 0,9. Скільки потрібно провести дослідів, щоб з ймовірністю 0,98 можна було чекати, що не менше 150 дослідів дадуть позитивний результат?
Відповідь: 177.
7.10. Автоматична телефонна станція отримує в середньому за годину 300 викликів. Яка ймовірність того, що за дану хвилину вона отримає точно два виклики?
Відповідь: 0.29.
7.11. Книга в 1000 сторінок має 100 опечаток. Яка ймовірність того, що на випадково обраній сторінці не менше чотирьох опечаток?
Відповідь: 0.000004.
7.12. Серед насіння жита є 0.4% насінин бур’янів. Яка ймовірність при випадковому відборі 500 насінин знайти 5 насінин бур’янів?
Відповідь: 0.000055.
7.13. Ймовірність того, що електрична лампочка залишиться справною після 1000 годин роботи, дорівнює 0.2. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з трьох ламп залишиться справною після 1000 годин роботи.
Відповідь: 0.488.
7.14. По дорозі проїжджає за добу в середньому 1000 автомобілів. Яка ймовірність того, що кількість автомобілів, які проїхали, більше 300 і менше 400? Ймовірність зустрічі автомобіля 0,4.
7.15. Знайти ймовірність того, що при 400 випробуваннях подія відбудеться 100 разів, якщо ймовірність її появи в кожному випробуванні рівна 0,01.
7.16. З партії деталей, серед яких 40% першосортних, роблять збірку агрегату. Знайти ймовірність того, що при збірці з 100 деталей 37 першосортних.
7.17. З 1000 деталей вибрали 50. Яка ймовірність того, що у вибірці 2 дефектні деталі, якщо у всій партії їх 4?
7.18. У середньому 2% виготовлених пристроїв потребують додаткового регулювання. Перевіряється 300 приладів. Яка ймовірність того, що 10 з них потребують регулювання?
7.19. Апаратура складається з 2000 деталей, ймовірність відмови кожної з яких 0,0005. Яка ймовірність того, що апаратура вийде з ладу, якщо це трапляється при відмові хоча б однієї деталі?
7.20. Ймовірність виграшу на кожен з лотерейних квитків рівна 0,02. Розрахувати ймовірність хоча б одного виграшу на n квитків для п=10, 90, 100.
7.21. На складі знаходиться продукція трьох фабрик, причому виробів першої фабрики на складі 30%, другої – 32 і третьої – 38%. Вироби першого сорту складають: для першої фабрики – 60%, для другої – 25%, для третьої – 50%. Визначити ймовірність того, що серед 300 наймання вибраних виробів першосортних не менше 130 і не більше 170.
7.22. Радіотелеграфна станція приймає цифровий текст. У силу наявності перешкод ймовірність помилкового прийому будь-якої цифри не змінюється протягом всього прийому і рівна 0,01. Вважаючи прийоми окремих цифр незалежними подіями, знайти: а) ймовірність того, що число невірно прийнятих цифр буде менше 20 в тексті з 1100 цифр; б) ймовірність того, що в тексті 7 помилок.
7.23. Якщо в середньому лівші складають 1%, які шанси на те, що серед 200 чоловік знайдеться четверо лівшів?
7.24. Ймовірність випуску свердла підвищеної хрупкості рівна 0,02. Свердла вкладаються в коробки по 100 штук. Знайти ймовірність того, що: а) у коробці не знайдеться бракованих свердел; б) бракованих свердел знайдеться не більше 3.
7.25. По каналу зв’язку передається 1000 знаків. Кожен знак може бути пошкоджений незалежно від інших з ймовірністю 0,005. Знайти наближене значення ймовірності того, що буде пошкоджено не більше трьох знаків.
ІІІ. Домашнє завдання (парні задачі).
Практичне заняття №8