Програма курсу теорiя ймовiрностей та математична статистика

1. Основнi поняття теорiї ймовiрностей.

Iсторiя зародження теорiї ймовiрностей. Означення та властивостi ймовiрностей.

Простiр елементарних подiй, випадковi подiї. Частотне, класичне, геометричне означення ймовiрностi. Аксiоми теорiї ймовiрностей. Властивостi ймовiрностi. Умовнi ймовipностi. Незалежнi подiї. Формула повної ймовiрностi i Байєса. Послiдовнiсть незалежних випробувань (схема та формула Бернуллi). Граничні теореми.

2. Випадковi величини та їх основнi характеристики.

Означення та основнi типи випадкових величин. Числовi характеристики випадкових величин. Дискретнi випадковi величини, їх числовi хаpактеpистики. Бiномiальний, геометричний, пуассонiвський розподiли. Неперервнi випадковi величини. Функцiя розподiлу, щiльнiсть. Рiвномiрний, показниковий, нормальний розподiли. Математичне сподiвання дискретної випадкової величини, та його властивостi. Математичне сподiвання довiльних випадкових величин, формули для обчислювання, властивостi математичних сподiвань. Диперсiя випадкової величини та її властивостi. Випадковi вектори, розподiл функцiй вiд випадкових величин. Коварiацiї, коефiцiент кореляцiї та їх властивостi. Типи випадкових величин та їх взаемозв'язок.

3. Генератриси та характеристичнi функцiї.

Означення та властивостi генератрис та характеристичних функцiй. Числовi характеристики випадкових величин та їх зв'язок з генератрисами та характеристичними функцiями. Генератриса та її властивостi. Теореми Пуассона. Характеристичнi функцiї. Властивостi характеристичних функцiй, формули обертання, теореми єдностi.

4. Граничнi теореми теорiї ймовiрностей.

Метод характеристичних функцiй, закони великих чисел та центральна гранична теорема. Теореми Хеллi, граничнi теореми для характеристичних функцiй. Закон великих чисел в рiзних формах. Посилений закон великих чисел. Метод Монте-Карло. Умова Лiндеберга. Центральна гранична теорема. Теорема Муавра-Лапласа.

5. Елементи теорiї випадкових процесiв.

Основнi поняття та типи випадкових процесiв. Основнi класи випадкових процесiв. Визначення випадкового процесу, скiнченновимiрнi розподiли, основнi типи випадкових процесiв. Маркiвськi процеси. Дискретнi ланцюги Маркова. Класифiкацiя станiв, ерготична теорема. Процеси з незалежними приростами. Вiнерівський та пуассонiвський процеси. Стацiонарнi процеси, характеристики другого порядку. Поняття стохастичного iнтегралу та диференцiалу. Дифузiйнi процеси та стохастичнi диференцiальнi рiвняння.

6. Основнi поняття та задачi математичної статистики.

Вибiркове, параметричне та непараметричне оцiнювання перевiрки гiпотез. Спецiальнi розподiли математичної статистики. Багатовимiрнi характеристичнi функцiї та їх властивостi. Багатовимiрний нормальний закон. Спецiальнi розподiли математичної статистики, основнi поняття та основнi задачi математичної статистики.

7. Стохастична теорiя оцiнювання.

Непараматричне та параметричне оцiнювання. Статистичнi оцiнки та їх властивостi. Методи оцiнювання для рiзних стохастичних моделей. Оцiнювання невiдомої функцiї розподiлу. Оцiнювання параметрiв, класифiкацiя оцiнок. Методи побудови оцiнок. Iнтервальне оцiнювання. Метод найменших квадратiв.