Іv. Повторні незалежні випробування. Схема і формула Бернуллі. Граничні теореми для схеми Бернуллі

Якщо проводяться випробування, у яких ймовірність того, що подія А відбудеться в кожному випробуванні, не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними відносно події А.

Якщо в кожному з n випробувань поява події А рівна p (0<p<1), то імовірність P_n(k) появи події А рівно k разів у n незалежних випробуваннях (все одно, в якій послідовності) обчислюється за формулою Бернуллі:

P_n(k)=C_n^k р^k q^n-k, (4.1)

де q=1-p – ймовірність того, що подія А не відбудеться,

= – число комбінацій із п по k.

Ймовірність того, що подія А відбудеться хоча б один раз, обчислюється за формулою:

P_n(т≥1)=1– qⁿ. (4.2)

Число k₀, при якому функція Р_п(k) досягає максимуму, називається найімовірнішим числом „успіхів” у схемі Бернуллі. Це число визначається з нерівностей

пр-q≤ k₀≤ пр+р, (4.3)

причому, якщо пр-q дробове, то маємо одне значення k₀, а якщо пр-q –ціле (виключний випадок), то таких значень два.

При великих п (практично при n>10) обчислення за формулою Бернуллі громіздкі й неефективні, тому виникає необхідність застосування наближених методів обчислення. Їх називають також асимптотичними і формулюють у вигляді граничних теорем:

• теорема Пуассона. При великому п (не менше кількох десятків), малому р (р<0,1) і пр≤10 для обчислення біномних ймовірностей використовують наближену формулу Пуассона:

Р_п(k) , де λ=пр. (4.4)

• локальна теорема Муавра-Лапласа. При досить великому п

Р_п(k) , (4.5)

де – протабульована парна функція, ,

причому при х≥4 φ(х)0.

• інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Ймовірність появи події більше і менше разів при п повторних незалежних випробуваннях дорівнює:

, (4.6)

де – функція Лапласа, протабульована. При практично .

(4.7)

Приклади розв’язування типових задач

Задача 4.1. Яка ймовірність того, що при 5 підкиданнях монети від 2 до 4 разів випаде герб?

Розв’язання. Якщо – ймовірність того, що при 5 підкиданнях монети випало рівно k гербів, то шукана ймовірність дорівнює:

Відповідь: 25/32.

Задача 4.2. Ймовірність випуску бракованого виробу дорівнює 0,02. Чому дорівнює ймовірність того, що у партії зі 100 виробів бракованих буде не більше 3?

Розв’язання. Скористаємося теоремою Пуассона. У даному випадку Тоді

Відповідь: 0,8571.

Задача 4.3. Монету підкидають 100 разів. Яка ймовірність того, що загальне число випадань герба буде у межах від 45 до 55?

Розв’язання. За умовою задачі Скористаємося інтегральною теоремою Муавра-Лапласа. k₁=45, k₂=55. Тоді

.

Відповідь: 0,6826.

Задача 4.4. Ймовірність того, що в кіровоградському універмазі можна побачити костюм Чернівецького швейного об’єднання “Трембіта”, дорівнює 0,004. Яка ймовірність того, що з 1000 куплених костюмів 5 виготовлено на “Трембіті”?

Розв’язання. За умовою задачі п=1000, р=0,004, λ=пр=4, k=5. Використовуючи формулу Пуассона, отримаємо:

Р_п(k) , .

Відповідь: 0,1563.