- •Содержание дисциплины "Дискретная математика" введение
- •Входная контрольная работа
- •1Вариант
- •2 Вариант
- •Раздел 1. Основы теории множеств
- •Тема 1.1 Основные понятия теории множеств.
- •Тема 1.2 Операции над множествами.
- •Самостоятельная работа № 1
- •Тема 1.3 Свойства операций.
- •Контрольная работа
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •Раздел 2. Формулы логики.
- •Тема 2.1 Основные логические операции.
- •Тема 2.2 Формулы логики.
- •Самостоятельная работа №2.
- •Тема 2.3 Дизъюнктивная нормальная форма.
- •Различны все члены дизъюнкции;
- •Тема 2.4 Конъюнктивная нормальная форма.
- •Тема 2.5 Равносильные формулы. Свойства.
- •Раздел 3. Булевы функции.
- •Тема 3.1 Понятие булевой функции.
- •Тема 3.2 Совершенная днф. Совершенная кнф. Совершенной дизъюнктивной формой формулы алгебры высказываний (сднф) называется днф, в которой:
- •Различны все члены дизъюнкции;
- •Самостоятельная работа №5.
- •Тема 3.3 Минимальная днф.
- •Тема 3.4 Представление булевой функции в виде минимальной днф.
- •Самостоятельная работа №6. Самостоятельная работа №7
- •Тема 3.5 Полнота множества функций.
- •Тема 3.6 Важнейшие замкнутые классы.
- •Важнейшие замкнутые классы в р2
- •Тема 3.7 Теорема Поста.
- •Примеры использования теоремы Поста.
- •3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.
- •Контрольная работа
- •Раздел 4. Предикаты и бинарные отношения.
- •Тема 4.1 Понятие предиката. Область определения и область истинности предиката.
- •Тема 4.2 Логические операции над предикатами.
- •Самостоятельная работа №8.
- •Тема 4.3 Кванторные операции над предикатами.
- •2. Квантор существования
- •- «Все люди любят всех людей».
- •- «Существует человек, который кого-то любит» .
- •- «Существует человек, который любит всех людей».
- •Тема 4.4 Понятие предикатной формулы.
- •Тема 4.5 Равносильность предикатов. Исчисление предикатов.
- •Самостоятельная работа №9.
- •Тема 4.6 Бинарные отношения и их свойства.
- •Самостоятельная работа №10. Контрольная работа
- •Раздел 5. Отображения. Подстановки.
- •Тема 5.1 Отображения и их свойства.
- •Самостоятельная работа №11.
- •Тема 5.2 Композиция отображений и обратное отображение.
- •Тема 5.3 Подстановки. Обратные подстановки. Формула количества подстановок.
- •Самостоятельная работа №12. Контрольная работа
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •3 Вариант
- •4 Вариант
- •5 Вариант
- •Раздел 6. Метод математической индукции.
- •Тема 6.1 Принцип метода математической индукции.
- •Раздел 7. Основы теории графов.
- •Тема 7.1 Понятие неориентированный граф. Основные определения.
- •Лабораторная работа № 1.
- •Тема 7.2 Теорема о сумме степеней вершин графа. Полный граф, его свойства.
- •Лабораторная работа № 2.
- •Тема 7.3 Метрические характеристики графа.
- •Лабораторная работа № 3.
- •Тема 7.4 Двудольные и изоморфные графы.
- •Лабораторная работа № 4.
- •Тема 7.5 Эйлеровы и гамильтоновы графы.
- •Лабораторная работа № 5
- •Тема 7.6 Плоские графы.
- •Тема 7.7 Деревья. Код Пруфера.
- •Тема 7.8 Понятие ориентированный граф (орграф).
- •Тема 7.9 Достижимость вершин в орграфе.
- •Раздел 8. Элементы теории алгоритмов.
- •Тема 8.1 Определение класса финитно-поставленных задач.
- •Тема 8.2 Машины Тьюринга.
- •Тема 8.3 Уточнения понятия алгоритм.
- •Итоговая (выходная) контрольная работа.
Контрольная работа
1 Вариант
1. А={х | х N : х-однозначное, составное число} В={7,8,13}
Определить количество подмножеств у множества А. Выписать все подмножества у множества В.
2. Х={ однозначные натуральные числа, кратные 3} Y={1,3,5,6,8}
Найти: Х Y, X Y, X\Y, Y\X
3. А=(-1,8]; В=[0,12]
Найти: А\В, В\А, В\(А В), A\(A B)
Доказать: А (В\С)=(А В)\(А С)
Упростить: (А В) ( )U ( В)
2 Вариант
1. А={х | x N : х-однозначное простое число} В={0,3,21}
Определить количество подмножеств у множества А. Выписать все подмножества у множества В.
2. Х={ Однозначное натуральное число : 4} Y={2,3,4,5,6,8,11}
Найти: Х Y, X Y, X\Y, Y\X
3. А=[2,14]; В=(-3,10]
Найти: А\В, В\А, В\(А В), A\(A В)
Доказать: = U
Упростить: (А В) ( )( В)
Раздел 2. Формулы логики.
Тема 2.1 Основные логические операции.
Высказывание – это предложение которое может быть либо истинным, либо ложным.
В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.
Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.
Введем множество
Над высказываниями можно выполнять следующие операции:
1. ┐ (не) – одноместная операция отрицания;
2. (или) – двуместная операция дизъюнкция;
3. (и) – двуместная операция конъюнкция;
4. (если, то) – двуместная операция импликация;
Каждая операция характеризуется своей таблицей истинности:
Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями
Отрицание. Отрицанием (логическим “не”) высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.
Обозначается Р или .
Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:
-
P
Р
И
Л
Л
И
2) Конъюнкция. Конъюнкцией (логическим “и”) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.
Обозначается P&Q или Р Q.
-
P
Q
P Q
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией (логическим “или”) двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Обозначается P Q.
-
P
Q
P Q
И
И
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
4) Импликация. Импликацией (логическим следованием) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.
Обозначается PQ (или Р Q). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.
-
P
Q
P Q
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
5) Эквиваленция. Эквиваленцией (логической равносильностью) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.
Обозначается РQ или РQ.
-
P
Q
PQ
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.
Построим истинностную таблицу сложного высказывания:
S=(A→B)∧( ┐C)∨(A↔C)
Очевидно, истинностная таблица будет содержать 23 = 8 строк.
Скобки применяются, если нарушаются естественный порядок операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, двойная импликация. Скобки (А→В) указывают на то, что сначала нужно выполнить
импликацию, затем найти (А→В)∧С. Скобки в выражении (A↔C) можно опустить. Заключительной операцией в построении истинностной таблицы для S будет дизъюнкция двух высказываний: (А→В)∧С и (A↔C).
Таблица
А |
В |
С |
А→В |
(А→В)∧С |
┐С |
A↔C |
C (A↔C) |
|
1 1 1 1 0 0 0 0 |
1 1 0 0 1 1 0 0 |
1 0 1 0 1 0 1 0 |
1 1 0 0 1 1 1 1 |
1 0 0 0 1 0 1 0 |
0 1 0 1 0 1 0 1 |
0 1 0 1 1 0 1 0 |
1 0 1 0 0 1 0 1 |
1 0 1 0 1 1 1 1 |
Итак, формула S задает высказывание которое истинно на следующих наборах значений элементарных высказываний:
А=1 В=1 С=1 (все три элементарных высказывания истинны)
А=1 В=0 С=1 (А, С - истинны, В - ложно )
А=0 В=1 С=1 (А - ложно, В и С - истинны)
А=0 В=1 С=0 (В - истинно, А и С - ложны)
А=0 В=0 С=1 (С - истинно, А и В - ложно)
А=0 В=0 С=0 (все три высказывания ложны).
Высказывательной формой называется: 1. любая переменная (она в свою очередь называется элементарной (автомарной) высказывательной формой); 2. если и высказывательные формы, то и их отрицания, , , , , также являются высказывательными формами.