Тема 7.2 Теорема о сумме степеней вершин графа. Полный граф, его свойства.

Граф Г называется полным, если каждые две его вершины соединены одним и только одним ребром.

А В

С Д - не полный граф

А В

С Д - полный граф

Только для неориентированного графа существует дополнение:

Г

– дополнение

Дополнением графа Г называется новый граф , состоящий из всех тех же вершин, что и граф Г и тех и только тех ребер, которые надо добавить, чтобы граф Г стал полным.

Степенью вершины называется количество ребер ей принадлежащих

В Д

Е

А С

Степень А=1, степень В=2, степень С=2, степень Д=1, степень Е=0

Степень каждой вершины полного графа на единицу меньше числа вершин.

Теорема: Сумма степеней всех вершин графа есть число четное и равное удвоенному количеству ребер

При большом количестве вершин схема теряет свою наглядность и поэтому используют другой способ задания графов в виде матрицы смежностей.

где каждое

М – симметричная на главной диагонали – 0

М (Г)=

Лабораторная работа № 2.

Задание графа матрицей смежности

Цель работы:

1. Изучить понятия полный граф, дополнение графа.

2. Рассмотреть способ задания графа с помощью матрицы смежности.

Литература:

1. "'Графы и их применение". Березина Л.Ю.. М: Просвещение. 1979г.

2. "Теория графов. Алгоритмический подход", Кристофидес Н.

3. "Применение теории графов в программировании". Евстигнеев В.А. - М.: Наука. 1985г.

Порядок выполнения работы:

I

Разработать схему алгоритмов основной программы и подпрограмм.

II

Написать и отладить программу на языке Turbo Pascal.

Задача

Граф задан матрицей смежности

М=

Изобразить граф, исходя из внешнего вида данной матрицы.

Краткие теоретические сведения:

Матричный эквивалент графа широко используется в работе с графами на ЭВМ.

Граф называется полным, если каждые две его вершины соединены одним и только одним ребром.

-полный граф

от граф не является полным

Граф, не являющийся полным, можно преобразовать в полный граф с теми же вершинами, добавив недостающие ребра.

Вершины графа Г и ребра, которые добавлены, также образуют граф, такой граф называется дополнением и обозначается .

Каждой вершине графа можно поставить в соответствие строку и столбец с номером i, причем

{ 1, если

{ 0, если

Тогда матрица называется матрицей смежностей графа Г и обозначается М(Г).

Содержание отчета:

1. Составление алгоритмов.

2. Написание программы на языке Turbo Pascal

3. Отладка программы.

Контрольные вопросы:

1. Что такое полный граф?

2. Дайте понятие дополнение графа?

3. Что такое матрица смежностей графа?

4. Как составить матрицу смежностей?

Тема 7.3 Метрические характеристики графа.

П усть дан граф:

А3

Как от вершины А1 дойти до А5?

Существуют следующие пути:

1. <A1,A4>,<A4, A5>

2. <A1, A2>,<A2, A4>,<A4, A5>

3. <A1, A3>,<A3, A4>,<A4, A5>

4. <A1, A4>,<A4, A2>,<A2, A1>,<A1, A3>,<A3, A4>,<A4, A5>

5. <A1, A4>,<A4,A2>,<A2, A1>,<A1, A4>,<A4, A5> - не является путем, т.к. ребро <A1, A4> встречается дважды.

Путем от вершина А1 до вершины Аn называется такая последовательность ребер, ведущая от А1 до Аn, что любые два соседних ребра имеют общую вершину и ни одного ребра не встречается дважды.

Путь, в котором начальные и конечные вершины совпадают называют циклом.

Путь от вершины А1 до Аn называется простым, если он не проходит ни через одну из вершин графа более одного раза.

Цикл называется простым, если он не проходит ни через одну из вершин графа более одного раза.

Длиной пути (цикла) называется количество ребер его составляющих.

Дан граф. Найти пути от А1 до А6 и определить их длину

1. <A1,A6>, d=1

2. <A1, A2>,<A2, A6>, d=2

3. <A1, A2>,<A2, A5>,<A5, A4>,<A4, A3>,<A3, A2>,<A2, A6>, d=6

4. < A1, A2>,<A2, A3>,<A3, A4>,<A4, A5>,<A5, A2>,<A2, A6>, d=6

Р асстоянием от вершины А до вершины В называется длина наименьшего пути, если не существует пути от А до В, то считают что расстояние равно бесконечности.

S(A1,A6)=1

S(A1, A7)=∞

В ершины А и В называются связными, если не существует пути связывающего их.

Вершины:

1. A и D – несвязные

2. A и Е – несвязные

3. А и В – связные

4. А и С – связные