- •Содержание дисциплины "Дискретная математика" введение
- •Входная контрольная работа
- •1Вариант
- •2 Вариант
- •Раздел 1. Основы теории множеств
- •Тема 1.1 Основные понятия теории множеств.
- •Тема 1.2 Операции над множествами.
- •Самостоятельная работа № 1
- •Тема 1.3 Свойства операций.
- •Контрольная работа
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •Раздел 2. Формулы логики.
- •Тема 2.1 Основные логические операции.
- •Тема 2.2 Формулы логики.
- •Самостоятельная работа №2.
- •Тема 2.3 Дизъюнктивная нормальная форма.
- •Различны все члены дизъюнкции;
- •Тема 2.4 Конъюнктивная нормальная форма.
- •Тема 2.5 Равносильные формулы. Свойства.
- •Раздел 3. Булевы функции.
- •Тема 3.1 Понятие булевой функции.
- •Тема 3.2 Совершенная днф. Совершенная кнф. Совершенной дизъюнктивной формой формулы алгебры высказываний (сднф) называется днф, в которой:
- •Различны все члены дизъюнкции;
- •Самостоятельная работа №5.
- •Тема 3.3 Минимальная днф.
- •Тема 3.4 Представление булевой функции в виде минимальной днф.
- •Самостоятельная работа №6. Самостоятельная работа №7
- •Тема 3.5 Полнота множества функций.
- •Тема 3.6 Важнейшие замкнутые классы.
- •Важнейшие замкнутые классы в р2
- •Тема 3.7 Теорема Поста.
- •Примеры использования теоремы Поста.
- •3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.
- •Контрольная работа
- •Раздел 4. Предикаты и бинарные отношения.
- •Тема 4.1 Понятие предиката. Область определения и область истинности предиката.
- •Тема 4.2 Логические операции над предикатами.
- •Самостоятельная работа №8.
- •Тема 4.3 Кванторные операции над предикатами.
- •2. Квантор существования
- •- «Все люди любят всех людей».
- •- «Существует человек, который кого-то любит» .
- •- «Существует человек, который любит всех людей».
- •Тема 4.4 Понятие предикатной формулы.
- •Тема 4.5 Равносильность предикатов. Исчисление предикатов.
- •Самостоятельная работа №9.
- •Тема 4.6 Бинарные отношения и их свойства.
- •Самостоятельная работа №10. Контрольная работа
- •Раздел 5. Отображения. Подстановки.
- •Тема 5.1 Отображения и их свойства.
- •Самостоятельная работа №11.
- •Тема 5.2 Композиция отображений и обратное отображение.
- •Тема 5.3 Подстановки. Обратные подстановки. Формула количества подстановок.
- •Самостоятельная работа №12. Контрольная работа
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •3 Вариант
- •4 Вариант
- •5 Вариант
- •Раздел 6. Метод математической индукции.
- •Тема 6.1 Принцип метода математической индукции.
- •Раздел 7. Основы теории графов.
- •Тема 7.1 Понятие неориентированный граф. Основные определения.
- •Лабораторная работа № 1.
- •Тема 7.2 Теорема о сумме степеней вершин графа. Полный граф, его свойства.
- •Лабораторная работа № 2.
- •Тема 7.3 Метрические характеристики графа.
- •Лабораторная работа № 3.
- •Тема 7.4 Двудольные и изоморфные графы.
- •Лабораторная работа № 4.
- •Тема 7.5 Эйлеровы и гамильтоновы графы.
- •Лабораторная работа № 5
- •Тема 7.6 Плоские графы.
- •Тема 7.7 Деревья. Код Пруфера.
- •Тема 7.8 Понятие ориентированный граф (орграф).
- •Тема 7.9 Достижимость вершин в орграфе.
- •Раздел 8. Элементы теории алгоритмов.
- •Тема 8.1 Определение класса финитно-поставленных задач.
- •Тема 8.2 Машины Тьюринга.
- •Тема 8.3 Уточнения понятия алгоритм.
- •Итоговая (выходная) контрольная работа.
Самостоятельная работа №12. Контрольная работа
1 Вариант
1. Задано отображение f: .
Определить является ли заданное отображение сюръктивным, инъективным и взаимно однозначным, если
f(2)=2
f(3)=4
f(4)=5
f(5)=6.
2. Даны подстановки и .
Определить:
а) степень подстановок А, В.
б) обратные подстановки для А и В.
в) произведение подстановок .
3. Разложить подстановку в произведение попарно независимых циклов.
4. Определить чётность подстановки по декременту и по общему числу инверсий.
5. решить уравнение , если , , .
2 Вариант
1. Задано отображение f: .
Определить является ли заданное отображение сюръктивным, инъективным и взаимно однозначным, если
f(2)=3
f(3)=2
f(4)=4
f(5)=6.
f(6)=5.
2. Даны подстановки и .
Определить:
а) степень подстановок А, В.
б) обратные подстановки для А и В.
в) произведение подстановок .
3. Разложить подстановку в произведение попарно независимых циклов.
4. Определить чётность подстановки по декременту и по общему числу инверсий.
5. решить уравнение , если , , .
3 Вариант
1. Задано отображение f: .
Определить является ли заданное отображение сюръктивным, инъективным и взаимно однозначным, если
f(1)=4
f(2)=3
f(3)=2
f(4)=1
f(5)=4.
2. Даны подстановки и .
Определить:
а) степень подстановок А, В.
б) обратные подстановки для А и В.
в) произведение подстановок .
3. Для подстановки (1372)(45), заданной разложением в независимые циклы, найдите запись в обычной двух строчной форме, при условии, что степень подстановки равна 7.
4. Определить чётность подстановки по декременту и по общему числу инверсий.
5. решить уравнение ,
если , , .
4 Вариант
1. Задано отображение f: .
Определить является ли заданное отображение сюръктивным, инъективным и взаимно однозначным, если
f(8)=10
f(9)=15
f(5)=12
2. Даны подстановки и .
Определить:
а) степень подстановок А, В.
б) обратные подстановки для А и В.
в) произведение подстановок .
3. Для подстановки (13)(254), заданной разложением в независимые циклы, найдите запись в обычной двух строчной форме, при условии, что степень подстановки равна 5.
4. Определить чётность подстановки по декременту и по общему числу инверсий.
5. решить уравнение ,
если , , .
5 Вариант
1. Задано отображение f: .
Определить является ли заданное отображение взаимно однозначным, если
f(2)=2
f(3)=4
f(4)=5
f(5)=6
f(1)=3
f(6)=5.
2. Даны подстановки и .
Определить:
а) степень подстановок А, В.
б) обратные подстановки для А и В.
в) произведение подстановок .
3. Разложить подстановку впроизведение попарно независимых циклов.
4. Определить чётность подстановки по декременту и по общему числу инверсий.
5. решить уравнение ,
если , , .
Раздел 6. Метод математической индукции.
Тема 6.1 Принцип метода математической индукции.
Индукцией называется метод ведущий от частных примеров к некоторому общему выводу.
Будем складывать нечетные числа:
- называется гипотезой (или предположением).
Гипотеза может быть либо истинной, либо ложной - это доказывается методом математической индукции, то есть заключается в следующем:
Проверить: А(n) - гипотеза
При n=1 – гипотеза выполняется: А(1) – верно.
Допустим, что при n=k, А(k) – верно.
Взять n=k+1 и доказать, что А(k+1) – верно, используя пункт 2.
Замечание. Чтобы показать, что эта формулировка следует из предыдущей, достаточно рассмотреть множество A={x N | P верно для x}.
Для доказательства в обратную сторону, множеству A N можно сопоставить свойство P «быть элементом множества A».
О доказательствах, основанных на аксиоме индукции, говорят, что они проведены методом математической индукции. Такие доказательства имеют следующую структуру:
устанавливается справедливость P для n=0 (посылка индукции);
предполагается, что P справедливо для некоторого произвольного, но фиксированного n=k (индуктивное предположение);
доказывается, что из индуктивного предположения, следует, что P верно для n=k+1 (индуктивный шаг).
Примеры. Проведем два доказательства методом математической индукции.
1) Сумма первых натуральных чисел от 0 до n включительно равна 0,5n(n+1):
0+1+…+n = 0,5n(n+1).
Доказательство. Утверждение верно при n=0: имеем 0=0,5⋅0⋅(0+1) (посылка индукции).
Предположим, что доказываемое утверждение верно для n=k (индуктивное предположение), то есть
0+1+…+k = 0,5k(k+1).
Покажем, что тогда оно верно и для n=k+1, то есть
0+1+…+k+(k+1) = 0,5(k+1)(k+2)
(индуктивный шаг). Сумма во втором равенстве отличается от суммы из первого равенства слагаемым k+1. Поэтому, в силу индуктивного предположения, получаем
0+1+…+k+(k+1) = 0,5k(k+1)+k+1 = 0,5(k+1)(k+2),
что и требовалось доказать.
В соответствии с принципом математической индукции, доказываемое утверждение верно для всех n.
2) Число подмножеств множества, содержащего n элементов, равно 2n.
Доказательство. Утверждение верно при n=0: пустое множество ∅ (единственное множество, содержащее 0 элементов) имеет ровно одно подмножество ∅.
Предположим теперь, что всякое множество с n=k элементами имеет 2k подмножеств, и покажем , что множество с n=k+1 элементами имеет 2k+1 подмножеств. Пусть A – произвольное множество с n=k+1 элементами. Так как k+1>0, то A не пусто и содержит хотя бы один элемент. Пусть a A. Разобьем совокупность всех подмножеств множества A на два класса. В класс U входят все подмножества, содержащие a, в класс V входят все подмножества, не содержащие a:
U={X⊂A | a∈X}; V={Y⊂A | a∉Y}.
Положим A’=A\{a}. Множество A’ содержит k элементов, так что по индуктивному предположению, число его подмножеств равно 2k. Но подмножества множества A’ – это в точности подмножества множества A, не содержащие a. Следовательно, |V|=2k. Пара взаимно обратных отображений U→V, X→X\{a} и V→U, Y→Y∪{a} устанавливает между U и V взаимно однозначное соответствие, так что |U|=|V|=2k. Поэтому общее число подмножеств множества A составляет
|U|+|V|=2k +2k =2k+1,
что и требовалось доказать.
Иногда принцип полной индукции применяется в следующей форме.
Пусть P – утверждение относительно натуральных чисел n такое, что
1) P верно для n=n0;
2) из справедливости P(n) для n= n0, n0+1, …, n0+k следует справедливость P(n) для n= n0+k+1.
Тогда P верно для всех n≥ n0.
Принцип полной индукции в этой форме может быть сведен к предыдущей формулировке заменой утверждения P утверждением P’: утверждение P имеет место для всех t, таких, что n0≤t≤n.
Возможны и другие модификации принципа полной индукции
Теорема. Всякое непустое подмножество натурального ряда содержит наименьший элемент.
Доказательство. Пусть A N – непустое подмножество. Возможны два случая: 0 A и 0∉A. В первом случае 0 является наименьшим элементом множества A. Рассмотрим второй случай. Предположим, что в A нет наименьшего элемента. Пусть A’ – это множество всех таких n, что ни одно число t из промежутка от 0 до n не содержится в A. Так как 0∉A, то 0 A’. Далее, если k A’, то и k+1 A’. В самом деле, в противном случае мы имели бы 0,1,…,k∉A, но k+1 A – а это означает, что k+1 – наименьший элемент множества A в противоречие с предположением об отсутствии такового. По аксиоме индукции множество A’ совпадает с N. Но это находится в противоречии с предположением о том, что множество A не пусто.