9. Критерий уст-сти нелин-х систем.

Для определения устойчивости нелинейных динамических систем полезным инструментом является второй метод Ляпунова.

Определение функции Ляпунова. V(x) является функцией Ляпунова для системы

(262)

Если: 1) V(x) непрерывна по x и V(0); 2)V(x) положительно определена; 3) V(x) = V(f(x))  V(x) отрицательно определена.

П ростая геом-я иллюстрация опр-я приведена на рис.

Линиями уровня полож-й функции V явл-ся замкн-е кри-вые, окружающие начало корд-т; при этом каждой линии соотв-т опред-е знач-е ф-ции. Согласно условию 3, динамика системы такова, что решение всегда перемещ-ся в напр-нии линий с меньшим знач-м ф-ции.

Теорема устойчивости Ляпунова. Решение x(k) = 0 асимптотически устойчиво, если для системы (262) существует функция Ляпунова. Кроме того, если , где (|| x||)   при || x||  , то решение асимптотически устойчиво для любых начальных условий.

Главная трудность в построении подходящей функции Ляпунова. Для линейной системы (262) легко построить квадратичную функцию Ляпунова. Ее приращение равно

Для того чтобы V была функцией Ляпунова, необходимо и достаточно, чтобы сущ-ла полож-но опр-ная матрица Р, удовл-щая уравнению (263) где Q  полож-но опр-я матрица. Уравнение (263) называют уравнением Ляпунова.

Критерий Попова (частотный критерий). Пусть имеется описание линейной части системы в форме весовой g(t  l) и частотной передаточной W(j) функции.

Интегральное уравнение, соответствующее приведенной системе, имеет вид . (55)

Попов использовал интегр-ю оценку (56) которая называется функционалом Попова.

Для того чтобы нелинейная стационарная система была абсолютно устойчива в секторе [0, k], достаточно, чтобы существовало такое действительное число q, при котором для всех w ³ 0 выполнялось неравенство

(57)

Для проверки критерия Попова необх-о построить на компл-й плоскости годограф видоизмененной частотной характеристики

(60)

и отложить точку на отрицательной части вещественной оси, равную k^1. Eсли через точку –k^1 можно провести прямую, позволяющую годографу W₁(j) находиться целиком справа от нее, то система абсолютно устойчива (рис. 3.17).

ImW₁(j)

ReW₁(j)

k^1

Поскольку все полюса W(p) находятся в левой плоскости Res > 0, поэтому условие (57) эквивалентно

(61)

где D достаточно мало.

Для доказательства рассмотрим функционал Попова со связью (55) и производной от s(t), равной

. (62)

Таким образом, система, удовлетворяющая критерию Попова, обеспечивает выполнение абсолютной устойчивости.

10. Постр-е пп-сов для лин-х дискрет-х систем.

1) Численные методы. Этот метод исп-ся с применением ЭВМ так как возникают проблемы с решением д.у. высокого порядка:

;

y – выходное воздействие, а g – входное.

Примем , затем подставим в правую часть.

2) Аналитические методы (остановимся на частных случаях):

Возьмём случай когда коэффициенты b₀, b_1,…b_m-1. В этом случае решение будет состоять из вынужденного и общего решения

.

Если есть нач-е условия, то можно найти пост-е интегрирования, а следовательно имеем аналитическое решение д.у.