8. Критерий уст-сти нелинейных систем.

Дискретное уравнение движения в терминах пространства состояний . (253)

Пусть x⁰(k) и x(k)  решения (253) при начальных условиях x⁰(k₀) и x(k₀) соответственно.

Определение устойчивости. Решение x⁰(k) yравнения (253) устойчиво, если для заданного  > 0 существует  (, k₀), такое что для всех решений, удовлетворяющих условию

||x(k₀)  x⁰(k₀)|| < , ||x(k)  x⁰(k)|| <  для всех k  k₀.

Определение асимптотической устойчивости. Решение x⁰(k) уравнения (253) асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и если ||x(k)  x⁰(k)||  0 при k  , при условии что ||x(k₀)  x⁰(k₀)|| достаточно мало.

Из опр-ния следует, что уст-сть, вообще говоря, определяется для конкретного решения, а не для системы в целом.

Устойчивость линейной дискретной системы. Рассмотрим линейную систему:

. (254)

Чтобы исследовать устойчивость решения уравнения (254), изменим начальные условия. Тогда

Разность удовлетворяет уравнению

. (255)

Это значит, что если решение x⁰ устойчиво, то каждое другое решение также устойчиво. Таким образом, для линейных стационарных систем устойчивость  свойство системы, а не конкретного решения.

В ряде случаев проще вычислить характеристич-й многочлен

(256)

и исследовать характеристическое уравнение

. (257)

Критерий Джури. Чтобы определить, все ли корни многочлена (257) находятся внутри единичного круга, составляют следующую таблицу:

…
,

где

Первая и вторая строки  это коэффициенты из (257) в прямом и обратном порядке. Третья строка получается умножением второй строки на a_n = a_n/a₀ и вычитанием произведения из первой строки; таким образом, последний элемент в третьей строке равен нулю. Четвертая строка  это третья, записанная в обратном порядке. Схема повторяется до (2n + 1)-й строки. Последняя строка состоит только из одного элемента.

Теорема устойчивости Джури. Если a₀ > 0, то все корни уравнения (257) лежат внутри единичного круга тогда и только тогда, когда все a₀^k, k = 0, 1, …, n  1 положительны. Если нет a₀^k, равных нулю, то количество отрицательных a₀^k равно количеству корней вне единичного круга.

К ритерий Найквиста. Для дискретных систем областью устойчивости на z-плоскости является единичный круг, а не левая полуплоскость. На рис. 4.25 показан контур Г_с, охватывающий область вне единичного круга. Выемка в точке z = 1 сделана с целью исключения интеграторов в р.с. Бесконечно малые полуокружности в точке z = 1 при уменьшении аргумента от /2 до /2 отображаются на H₀(z)-плоскость как бесконечно большая окружность от n/2 до n/2 (где n  количество интеграторов в разомкнутой системе). Если на единичной окружности имеются полюса кроме z = 1, то все они должны быть исключены маленькими полуокружностями так же, как в точке z = 1. Отображение единичной окружности  это H₀(e^i), где   (0,2).

Устойчивость з.с. теперь можно определить, исследовав, как контур Г_с отображается функцией H₀(z). Отображение H₀(e^i) при изменении аргумента от 0 до  называют частотной характеристикой или диаграммой Найквиста. Согласно принципу вариации аргументов, количество обходов N точки (-1, 0) в положительном направлении отображением Г_с равно

где Z и Р  количество нулей и полюсов функции 1 + H₀(z) вне единичного круга соответственно. Отметим, что если разомкнутая система устойчива, то Р = 0 и, следовательно, N = Z.

Устойчивость з.с. гарантирована, если отображение Г_с не охватывает точку (−1, 0). Если H(z)  0 при z  , параллельные линии ІІІ и V не влияют на критерий устойчивости. Важно найти отображение единичной окружности и маленьких полуокружностей в z = 1. Критерий Найквиста в дальнейшем можно упростить, если р.с. и обратная ей устойчивы. В этом случае замкнутая система устойчива, если точка (−1, 0) на H₀(z)-плоскости находится слева от отображения H₀(e^i) для   (0, ), т.е. слева от диаграммы Найквиста.