5. Типовые статич-е нелин-сти и их х-ки.

(3.1)

а)

Б

(3.2)

)

(3.3)

в)

(3.4)

г)

(3.5)

д)

Однозначные статические нелинейности: а – с насыщением; б – с зоной нечувствительности; в – линейные по модулю; г – идеальная релейная; д - релейная с зоной нечувствительности.

Существуют также петлевые гистерезисные нелинейности (рис. 3.2).

(3.6)

а)

(3.7)

б)

Рис. 3.2. Петлевые гистерезисные характеристики: а – релейная; б – релейная с зоной нечувствительности.

7. Критерий уст-сти непрер-х лин-х систем.

можно, используя принцип суперпозиции, рассмотреть реакцию системы на одно воздействие.

Пусть внешнее воздействие x(t) ограничено |x(t)|  M₀   при любом t (149) как и |x(t – )|  M₀ при любом t  . (150)

Реакцию системы y(t) запишем: . . (151)

Учитывая (151), перепишем (152): . (152)

Откуда можно заключить, что реакция системы будет ограничена, если интеграл от весовой функции конечен:

. (153)

Для более общего случая можно считать, что линейная система устойчива при условии

(154)где C – некоторая конечная величина.

Пусть передаточная функция системы есть дробно-рациональная функция

. A(p) = 0. (168) характеристическое уравнение

Полюса наз-ся левыми, если они имеют отриц-е веществ-е части корней, т.е. корни распол-ся в левой части комплекс-й переем-й p. Полюса наз-ся нейт-ми или нул-и, если корни явл-ся мнимыми. для того чтобы система управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были бы левыми.

Критерий Рауса. Условия

, где

,

при четном n; при нечетном n. для устойчивой системы все числа в 1-ом столбце должны быть одного знака, и с учетом условия a0 > 0 они должны быть положительными

r	№ строки	№ столбца
		1	2	3
		a0	a2	a4
		a1	a3	a5
	1	c11 =a2 – r1a3	c12 = a4 – r1a5	c13 = a6 – r1a7
	2	c21 =a3– r2c12	c22 = a5 – r2c13	c23 = a7 – r2c14
	3	c31 =c12–r3c22	c32 = c13 – r3c23	…

К ритерий Гурвица. Для начала записываются две строки: в начале нечётные, затем чётные: Всё это будем делать пока мы не сформируем матрицу подходящего размера (если уравнение 7-го порядка, то последнее число будет а7).

а1, 2) , 3)

И т.д. до 7-го порядка. Находим определители, и система является устойчивой, если окажется, что все определители будут >0.

Критерий Найквиста. , (182) Формула выражает критерий Найквиста: приращение аргумента функции 1 + W_p(p) устойчивой системы при обходе контура C по часовой стрелке равно числу правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы, помноженному на 2.

Функция 1 + W_p(j) изображается вектором, начало которого находится в точке (1, j0), а конец расположен на АФХ разомкнутой системы. Если при вещественных коэффициентах полиномов R(p) и Q(p) характеристика W_p(j) симметрична относительно действительной оси, то рассматривают обход не по всему замкнутому контуру, а по его половине, для  > 0. Тогда перепишем (1.182): . (1.183)

Для устойчивого движения з.с. необходимо, чтобы при возрастании  от 0 до  вектор 1 + W_p(j), скользящий своим концом по АФХ р.с., повернулся вокруг точки (1, j0) в направлении по часовой стрелке S/2 раз, где S – число правых корней разомкнутой системы. Если р.с. устойчива и S = 0, то суммарный поворот вектора 1 + W_p(j) должен быть равным нулю. В этом случае для устойчивости з.с. необходимо и достаточно, чтобы точка (1, j0) находилась вне контура АФХ р.с..

Критерий Михайлова основан на исследовании характеристического полинома (170) в частотной области. При подстановке p = j получим характеристический полином A(j) = Re() + jIm(), (184) где вещественная часть Re() будет содержать четные степени , а мнимая часть Im() – нечетные степени .

Изменяя частоту  от 0 до  в комплексной плоскости Re и Im, можно построить график, который называется годографом Михайлова. Для определения связи годографа Михайлова с вещественными корнями характеристического полинома представим его в виде произведения сомножителей

A(j) = a₀ (j  p₁)( j  p₂ )… (j  p_n), (185)

где p₁, p₂, …, p_n – корни ХАУ. При перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Поэтому результирующий угол поворота вектора A(j) при изменении  от 0 до  будет равен сумме углов поворота отдельных сомножителей (186).  = ₁ + ₂ + … + 

П остроим годограф этого вектора в плоскости

Re(), Im() для [0, ] Один поворот на угол  равен π/2. Для устойчивой системы n-го порядка при изменении  от 0 до  аргумент годографа Михайлова повернется на угол . При четной степени уравнения кривая Михайлова уходит в бесконечность параллельно оси Re(), а при нечетной степени – параллельно оси Im().