Производная логарифмической функции

Производная функции y = ln x существует и выражается формулой

                    (15)

В случае сложной логарифмической функции y = ln u, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (15) примет вид

               (16)

Пользуясь формулой (16), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть

На основании свойств логарифмов имеем

Так как

- постоянный множитель, то

или

                 

38.

Производные элементарных функций:

Функция	Производная
f(x) = C, C ∈ R	0 (да-да, ноль!)
f(x) = xn	n · xn − 1
f(x) = sin x	cos x
f(x) = cos x	− sin x
f(x) = tg x	1/cos2 x
f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
f(x) = ln x	1/x
f(x) = loga x	1/(x · ln a)
f(x) = ex	ex

39. Производная сложной функции

Пусть функция f: [a, b] → [c, d], а функция g:[a₁, b₁] → [c₁, d₁], причём [a₁, b₁] [c, d]. Если функция f дифференцируема в точке х₀ [a, b], а функция g дифференцируема в точке y₀ = f (x₀) [a₁,b₁], то сложная функция F(x) = g( f ( x )) имеет в точке х₀ производную, равную

g ' ( f ( x₀ ) )·f ' ( x₀ ).

Показательно-степенная функция

Показательно-степенной функцией называется функция вида y = u^v, где u=u(x), v=v(x).

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.

40. Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некото­ром интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у = f^--1(x) имеет производную [f^--1(x)]', причем

или

Производные обратных тригонометрических функций

41.Производная функций заданных неявно

Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0 , F(x,y) — дифференцируемая функция и F '_y( x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'_x(x, y) / F'_y(x, y).

Производная функций заданных параметрически

формула производной параметрически заданной функции

42.Дифференциал функции

Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

  Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f’(x)dx.

Свойства дифференциала.

  Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1)      d(u ± v) = (u ± v)’dx = u’dx ± v’dx = du ± dv

2)      d(uv) = (uv)’dx = (u’v + v’u)dx = vdu + udv

3)      d(Cu) = Cdu

4)       

43. Производные высших порядков

Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной . Эта функция называется производной функции , или первой производной от . (Иногда саму исходную функцию называют нулевой производной и обозначают тогда .) Функция , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала , которую мы обозначим и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная существует во всех точках , то она может также иметь производную , называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще, -й производной функции называется производная от предыдущей, -й производной :