- •25.Множества чисел
- •26.Функция
- •27.Числовые последовательности
- •28.Предел функции непрерывного аргумента
- •29. Свойства бесконечно малых функций
- •31.Теорема о двух милиционерах
- •33. Свойства пределов функции
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •34.Непрерывность функции
- •Односторонний предел по Гейне
- •Односторонний предел по Коши
- •35.Свойства функций непрерывных на промежутке
- •36. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
- •37.Производная функции в точке
- •Производная показательной функции
- •Производная логарифмической функции
- •39. Производная сложной функции
- •40. Производная обратной функции
- •41.Производная функций заданных неявно
- •42.Дифференциал функции
- •Свойства дифференциала.
- •43. Производные высших порядков
- •44.Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа (обобщение теоремы Ролля)
- •45.Теорема Коши
- •Доказательство
- •46.Исследование функции
- •Необходимое условие точки перегиба
- •Достаточное условие точки перегиба
- •54.Исследование схема Общая схема исследования функции
27.Числовые последовательности
функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
28.Предел функции непрерывного аргумента
Число А называется пределом функции y=f(x) при x->x0,если для всех значений x, достаточно мало отличающихся от числа x0, соответствующие значения функции f(x) как угодно мало отличается от числа A
Бесконечно малая функция
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
|
|||
|
|
|
|
Бесконечно большая функция
если , то функция f называется бесконечно большой при x → x0.
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограниченная функция
Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x), лежит в полосе c ≤ y ≤ C.
29. Свойства бесконечно малых функций
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
Произведение
Произведение бесконечно малой функции при и функции , ограниченной в некоторой -окрестности точки a, есть функция бесконечно малая. Доказательство. Функция является ограниченной в некоторой окрестности точки a и, следовательно, существует такое число B > 0, что
|
|
(4) |
|
для всех x, удовлетворяющих условию
|
|
(5) |
|
Поскольку функция является бесконечно малой при , то для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число , что неравенство
|
|
(6) |
|
выполняется для всех x, удовлетворяющих условию
|
|
(7) |
|
Выберем из чисел и наименьшее и обозначим его символом δ. Тогда условие
|
|
(8) |
|
является более сильным, чем условия (5) и (7) и поэтому влечет неравенства (4) и (6). Таким образом, для любого произвольно малого числа ε > 0 выполняется неравенство
для всех x из δ-окрестности точки a.
Сумма
Сумма двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Доказательство. Пусть ε > 0 – произвольно малое число; и – бесконечно малые функции при . Тогда существуют такие положительные числа и , что условия
|
|
(9) |
|
и
|
|
(10) |
|
влекут за собой соответствующие неравенства
и
Если , то условие перекрывает оба условия (9) и (10) и, следовательно,
Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.