- •25.Множества чисел
- •26.Функция
- •27.Числовые последовательности
- •28.Предел функции непрерывного аргумента
- •29. Свойства бесконечно малых функций
- •31.Теорема о двух милиционерах
- •33. Свойства пределов функции
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •34.Непрерывность функции
- •Односторонний предел по Гейне
- •Односторонний предел по Коши
- •35.Свойства функций непрерывных на промежутке
- •36. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
- •37.Производная функции в точке
- •Производная показательной функции
- •Производная логарифмической функции
- •39. Производная сложной функции
- •40. Производная обратной функции
- •41.Производная функций заданных неявно
- •42.Дифференциал функции
- •Свойства дифференциала.
- •43. Производные высших порядков
- •44.Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа (обобщение теоремы Ролля)
- •45.Теорема Коши
- •Доказательство
- •46.Исследование функции
- •Необходимое условие точки перегиба
- •Достаточное условие точки перегиба
- •54.Исследование схема Общая схема исследования функции
31.Теорема о двух милиционерах
Если функция y = f(x) такая, что для всех x в некоторой окрестности точки a, причем функции φ(x) и ψ(x) имеют одинаковый предел при , то существует предел функции y = f(x) при , равный этому же значению, то есть
32. Вторая теорема Вейерштрасса
Непрерывная на отрезке [a, b] функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и своей нижней грани Доказательство. Пусть f (x) C[a, b] (функция принадлежит классу непрерывных функций на отрезке [a, b]) и пусть . Согласно определению верхней грани функции, для каждого n существует такая точка хn [а, b], что
,
Из последовательности xn [а, b] можно выделить сходящуюся к некоторому значению х0 подпоследовательность:
.
В силу непрерывности функции имеем далее
.
В то же время
.
И в пределе f (x0) M. Но f (x0) не может быть больше верхней границы М и, следовательно, f (x0) = М. Что и требовалось доказать
33. Свойства пределов функции
1) Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
2) Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.
Расширенное свойство предела суммы:
Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.
3) Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:
4) Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
Расширенное свойство предела произведения
Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
5) Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из : | LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на sinx:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Второй замечательный предел
или
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что
Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
Раскрытие неопределенностей
Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:
Выявление старшей степени переменной;
Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.
Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:
Разложение на множители числителя и знаменателя;
Сокращение дроби.
Правило Лопиталя
. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем
|
(1) |