- •I . Борівська теорія атома
- •1.1. Закономірність в атомних спектрах
- •1.2. Модель атома Томсона
- •1.3. Досліди по розсіянню -частинок. Ядерна модель атома
- •1.4. Постулати Бора. Дослід Франка і Герца
- •1.5. Елементарна борівська теорія водневого атома
- •II. Елементи квантової механіки
- •2.1. Гіпотеза Луї де Бройля. Корпускулярно-хвильовий дуалізм
- •2.2. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга
- •2.3. Рівняння Шредінгера
- •2.4. Фізичний зміст псі-функції
- •2.5. Квантування енергії
- •2.6. Рух вільної частинки
- •2.7. Частинка в нескінченно глибокій потенціальній ямі
- •2.8. Гармонічний осцилятор
- •2.9. Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр
- •2.10. Квантування моменту імпульсу
- •III. Квантова теорія атомів і молекул
- •3.1. Квантова теорія атома водню
- •3.2. Багатоелектронні атоми
- •3.2.1. Спектри лужних металів
- •3.2.2. Нормальний ефект Зеємана
- •3.2.3 Мультиплетність спектрів і спін електрона
- •3.2.4 Механічний та магнітний моменти багатоелектонного атома
- •3.2.5. Розподіл електронів в атомі за станами. Періодична система елементів д.І. Менделєєва
- •3.2.6. Рентгенівські спектри
- •3.2.7. Енергія молекули
- •3.2.8. Молекулярні спектри
- •3. 2. 9 Комбінаційне розсіювання світла
- •3. 2.10. Вимушене випромінювання. Лазери
- •I. Борівська теорія атома………………………………………………………..…3
2.2. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга
За гіпотезою Луї де Бройля електрон та інші частинки матерії мають хвильові властивості, тобто вони не є матеріальними точками, як це уявлялось у рамках класичної механіки. У зв’язку з цим постає запитання: які розміри має електрон і яку область простору він займає?
Локалізація матеріальної точки m, яка рухається вздовж осі Ox, у класичній механіці в деякий момент часу t визначається точкою C, координата якої x. Нехай у деякий початковий момент часу t0 матеріальна точка має швидкість і відповідний імпульс . Сукупність послідовних місць знаходження рухомої точки C1, C2, C3, … утворює траєкторію руху матеріальної точки. Якщо відома сила , що діє на матеріальну точку, то на основі другого закону Ньютона можна визначити координату x і складову імпульсу рухомої матеріальної точки, а саме:
; . (2.8)
З рівнянь (2.8) випливає: якщо відоме початкове положення матеріальної точки x0, її початковий імпульс і діюча на неї сила , то можна визначити зміну імпульсу і зміну координати за будь-який проміжок часу і цим самим повністю описати рух матеріальної точки, тобто вказати її координату і відповідну складову імпульсу в будь-який момент часу t
; .
У класичній механіці і координата, і відповідна складова імпульсу визначаються одночасно і з будь-якою точністю.
По-іншому вирішується питання просторової локалізації і визначення імпульсу мікрочастинки. Оскільки переміщення мікрочастинки необхідно пов’язувати з хвильовим процесом, то рівняння, яке описує її рух, характеризуватиме умови поширення відповідної хвилі де Бройля. У цьому випадку визначення місця знаходження мікрочастинки в будь-який момент часу не має фізичного змісту, оскільки хвиля являє собою протяжний об’єкт, який заповнює певну область простору і не маже бути зосереджена в одній точці з координатою x. Для мікрочастинок неправомірно говорити про одночасне значення її координати й імпульсу. Вираз «довжина хвилі в даній точці» не має змісту, але імпульс виражається через довжину хвилі, тому координата частинки з певним імпульсом цілком невизначена. І навпаки, якщо координата частинки точно визначена, то її імпульс повністю невизначений. Для спрощення спочатку розглянемо випадок, коли мікрочастинка (електрон) рухається з постійною швидкістю . У цьому разі рухомій частинці відповідає монохроматична хвиля де Бройля. Якщо хвиля плоска, то при поширенні вздовж осі O вона займає необмежену частину простору. Інтервал координати , в якому знаходиться хвильовий об’єкт, дорівнює нескінченності.
Оскільки хвиля монохроматична (), то їй відповідає цілком певне значення імпульсу частинки (), тобто . Отже, монохроматична плоска хвиля характеризується відповідно невизначеністю координати () і точним значенням відповідної складової імпульсу (). Плоска хвиля є фізичною ідеалізацією. Як відомо, будь-яку реальну хвилю можна розглядати як результат накладання, тобто як сукупність плоских хвиль. Така група хвиль поширюється як деякий обмежений у просторі об’єкт, який називають хвильовим пакетом. Його можна одержати шляхом накладання монохроматичних хвиль різних амплітуд і довжин хвиль від до (рис. 2.3, а). Для такого локалізованого пакета (рис. 2.3, б) вже втрачається визначеність довжини хвилі й імпульсу, оскільки він являє собою суперпозицію монохроматичних хвиль. Невизначеність імпульсу частинки, зв’язаної з хвильовим пакетом, оцінюється інтервалом імпульсів складових хвиль:
.
Рис.
2.3
Чим вужчий інтервал локалізації хвилі, тим ширший інтервал інтерферуючих хвиль утворює хвильовий пакет. У цьому випадку зростає величина . Отже, зменшення зв’язане із зростанням невизначеності імпульсу . Це означає, що координата і проекція імпульсу мікрочастинки не можуть одночасно мати певні фіксовані значення, вони можуть набирати будь-які значення у відповідних інтервалах і , і . У 1927 р. німецький фізик В. Гейзенберг (1901-1976) показав, що між вказаними невизначеностями і існує співвідношення
, (2.9)
де .
За даними [2] співвідношення (2.9) має вигляд:
.
Оскільки коефіцієнт фізичного значення не має, то основним приймається співвідношення (2.9). З нього випливає, що чим точніше фіксована координата, тобто чим менше , тим більша невизначеність імпульсу і, навпаки, чим точніше значення імпульсу, тим більша невизначеність координати.
Співвідношення, аналогічне (2.9), виконується для і , і , а також для інших пар величин, що описують стан мікрочастинки (в класичній механіці такі пари величин називають канонічно спряженими). Позначивши канонічно спряжені величини буквами і , можна записати
. (2.10)
Співвідношення (2.9) та (2.10) називають співвідношеннями (принципом) невизначеностей Гейзенберга.
Енергія і час є канонічно спряженими. Тому для них теж виконується принцип невизначеностей
. (2.11)
Це співвідношення означає, що визначення енергії з точністю до потребує інтервалу часу .
Рис.
2. 4
.
З умови першого мінімуму дифракційної картини від щілини маємо . Тоді
.
Оскільки , то з цієї формули одержимо
. (2.12)
Якщо враховувати максимуми дифракційної картини вищих порядків, то співвідношення (2.12) можна записати у вигляді
або , (2.13)
що не протирічить співвідношенню (2.9).
З співвідношення (2.9) випливає, що стан, в якому частинка знаходиться в повному спокої, неможливий. У квантовій механіці втрачає смисл поділ повної енергії на кінетичну і потенціальну. Дійсно, одна з цих величин залежить від імпульсів, а друга – від координат. Ці ж змінні не можуть мати одночасно певних значень. Енергія повинна визначатися і вимірюватися тільки як повна енергія без поділу на кінетичну і потенціальну.
Співвідношення невизначеностей вказує на межі можливостей застосування понять класичної механіки до мікрочастинок, зокрема, з якою точністю можна говорити про траєкторію мікрочастинки. Враховуючи, що імпульс , на підставі (2.9) знаходимо, що
.
Отже, чим більша маса частинки, тим меншими є невизначеності її координати і швидкості і тим точніше можна приймати поняття траєкторії. Уже для частинки масою 1 г невизначеності і знаходяться за межами точності вимірів цих величин, так що її рух можна розглядати як рух по певній траєкторії.
Рис.
2. 5
(м).
Отриманий результат вказує на те, що рух електрона в електронно-променевій трубці практично не відрізняється від руху по певній траєкторії.
Співвідношення невизначеностей є одним із фундаментальних положень квантової механіки. Одного його достатньо, щоб отримати ряд важливих результатів. Зокрема, воно дозволяє пояснити той факт, що електрон не падає на ядро атома, а також оцінити розміри найпростішого атома і мінімальну можливу енергію електрона в такому атомі.
Якби електрон упав на точкове ядро, то його координати і імпульс мали б певні значення, що є несумісним з принципом невизначеностей. Цей принцип вимагає, щоб невизначеність координати електрона і невизначеність імпульсу були зв’язані умовою (2.9). Формально енергія була б мінімальною коли і . Тому, оцінюючи мінімальну можливу енергію, необхідно прийняти, що і . Підставивши це значення у (9.2), отримаємо співвідношення
. (2.14)
Енергія електрона в атомі водню дорівнює
.
Замінивши згідно (2.14) через , отримаємо:
. (2.15)
Знайдемо значення , при якому мінімальна. Дослідивши (2.15) на екстремум, знайдемо:
,
Звідки випливає, що
м. (2.16)
Підстановка виразу (2.16) у формулу (2.15) дає енергію основного стану:
еВ. (1.17)
Отримані результати у вигляді (2.16) і (2.17) співпадають з результатами борівської теорії атома водню.