2.10. Квантування моменту імпульсу

М

Рис. 2. 12

омент імпульсу є однією з основних характеристик руху. Його особливість полягає в тому, що зберігається, якщо система ізольована або рухається в центральному силовому полі. Однак у квантовій теорії момент імпульсу суттєво відрізняється від класичного. А саме, модуль моменту може бути заданим як завгодно точно тільки однією із проекцій, наприклад . Інші дві проекції виявляються повністю невизначеними. Це означає, що напрямок моменту в просторі є невизначеним. Наглядно таку ситуацію можна спробувати уявити так: вектор є якось «розмитим» по твірних конуса, вісь якого співпадає з напрямком координатної осі (рис. 2.12). У цьому випадку певне значення має тільки проекція . Інші дві проекції, і , виявляються повністю невизначеними. Саме такий зміст вектора моменту імпульсу приймається в квантовій теорії.

Розглянемо момент імпульсу для одного електрона, починаючи з квадрата моменту. Згідно з (2.26) для цього необхідно знайти рішення рівняння

. (2.53)

Оператор є досить складним, і рішення цього рівняння є громіздким. Тому обмежимося наведенням кінцевих результатів, при цьому тільки для власних значень цього оператора:

, , (2.54)

де - так зване орбітальне (або азимутальне) квантове число. Звідки модуль моменту імпульсу

, . (2.55)

Із (2.55) видно, що ця величина є дискретною (квантованою).

Варто відзначити, що класичний момент імпульсу і відповідний йому оператор суттєво відрізняються. Класичний момент залежить від вибору точки , відносно якої береться радіус-вектор . Оператор моменту імпульсу не залежить від вибору точки (в цьому можна впевнитися записавши проекції моменту в сферичній системі координат).

Це означає, що оператор моменту імпульсу залежить тільки від напрямку координатних осей. Тому його краще називати оператором кутового моменту.

Не залежать від вибору точки і власні значення операторів квадрату і проекції кутового моменту, і .

Знайдемо проекції моменту . Оскільки в одному і тому ж стані проекції моменту на два різних напрямки не можуть бути точно визначеними, то вибраний напрямок можна обрати довільно. Такий напрямок, за звичаєм, приймають за вісь , оскільки в цьому випадку оператор можна представити відносно простою формулою (див. [5])

. (2.56)

Таким чином, для знаходження власних значень і власних функцій цього оператора необхідно, згідно (2.26), розв’язати рівняння

. (2.57)

Підстановка призводить після скорочення на загальний співмножник до рівняння , із якого . Отже, рішення рівняння (2.57) є таким:

, . (2.58)

Ця функція скінчена, неперервна і гладка. Вона має бути однозначною для чого повинна виконуватися умова

.

Ця умова виконується лише при цілих значеннях у формулі (2.58).

Отже, проекція кутового моменту на вісь є кратною сталій Планка:

, . (2.59)

Оскільки вісь обрано довільно, рівняння (2.59) означає, що проекція кутового моменту на напрямок квантується. Схематично це показано на рис. 2.13. Такі схеми не варто сприймати буквально, оскільки «вектор» не має визначених напрямків в просторі.

З причин, які виясняються в подальшому, число називають магнітним квантовим числом.

З точки зору квантової теорії хвильова функція , що відповідає певному квантовому числу , являє собою суперпозицію станів ( - функцій), які відрізняються одна від іншої числом . Інакше кажучи, стан із заданим є виродженим по , при чому кратність виродження, тобто число різних значень , як випливає з (2.59), дорівнює .

Проекція вектора не може бути більшою модуля цього вектора, тобто , тому відповідно з (2.54) і (2.55) повинна виконуватись умова

,

з

Рис. 2.13

відки випливає, що максимальне значення дорівнює . Отже, при заданому число приймає значень:

,

що створюють спектр величин . Відмітимо, що в квантовій теорії при визначенні орбітального моменту прийнято називати тільки , оскільки воно задає як модуль кутового моменту, так і всі можливі значення його проекцій на вісь . Так наприклад, якщо кажуть, що орбітальний момент , то мають на увазі модуль моменту і спектр :

, .

Таким чином, маємо:

, (2.60)

, . (2.61)