2.1.4. Определители

Рассмотрим квадратную матрицу вида

, (1)

где a₁, a₂, b₁, b₂ – некоторые числа.

Определение. Число a₁b₂ – a₂b₁ называется определителем второго порядка или определителем матрицы (1) и обозначается . Таким образом, согласно правилу

= a₁b₂ – a₂b_1.

Это очень важно! Это следует запомнить!

Определитель матрицы также называют ее детерминантом и обозначают следующим образом: . Детерминант соответствует только квадратной матрице. Числа a1, a2, b1, b2 называются элементами определителя. Они располагаются в обозначении определителя в форме квадрата. Причем диагональ, включающая элементы a1 и b2, называется главной, а та, на которой находятся a2 и b1- побочной. Правило вычисления определителей второго порядка. Для того, чтобы вычислить определитель второго порядка, нужно из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Определение. Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Чтобы запомнить эту формулу применяют одно из двух мнемических правил. Первое состоит в том, что справа к детерминанту третьего порядка :приписывают два первых его столбца, а затем мысленно проводят главную и побочную диагонали и по два параллельных отрезка для каждой из них. Произведения элементов, расположенных вдоль главной диагонали и параллельных ей отрезков, записываются со знаком «+», а остальные – со знаком «–»: Поясним правило при помощи рис.1:

рис. 1.

При выполнении расчетов эти линии не изображают, т.е.:

Согласно второму мнемическому правилу (правило «треугольников») следует мысленно провести главную диагональ определителя и построить два треугольника с вершиной в одном из концов побочной диагонали и стороной, параллельной главной диагонали. Элементы, образующие вершины этих треугольников и главную диагональ соответственно перемножают и полученные произведения берутся в качестве трех первых слагаемых. Затем мысленно проводят побочную диагональ определителя и строят два треугольника с вершиной в одном из концов главной диагонали и стороной, параллельной побочной диагонали. Элементы, образующие вершины этих треугольников и побочную диагональ соответственно перемножают и полученные произведения берутся в качестве трех последующих слагаемых с противоположным знаком: Поясним правило при помощи рис. 2:

рис. 2.

Пример. Вычислим детерминанты следующих матриц:

1) ; 2) .

Решение.

При определении значения первого определителя воспользуемся алгоритмом вычисления детерминанта второго порядка:

1. 

Для расчета определителя третьего порядка используем первое мнемическое правило:

2. 

Определение. Определителем квадратной матрицы п-го порядка, или определителем п-го порядка, называется число, равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Понятие алгебраического дополнения является одним из наиболее важных в теории алгебры матриц

где – алгебраическое дополнение соответствующего элемента определителя, равное произведению (причем i и j – номера строки и столбца, в которых расположен данный элемент) на – минор данного элемента (определитель, который получается вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца).

Такой алгоритм вычисления значения определителя называется разложением по столбцу или строке. Согласно этому определению, можно вычислить определитель любого порядка. Вам достаточно научиться при помощи данного правила вычислять значения определителей четвертого и пятого порядков. При выборе строки или столбца для разложения ищите такие строки или столбцы, которые содержат набольшее число нулевых членов или, если их нет, большинство элементов должны быть положительными и относительно малыми по абсолютному значению.

Пример. Найдем значения следующих определителей:

1. ; 2) .

Решение.

При вычислении первого определителя наиболее рационально произвести разложение по первой строке, так как строк или столбцов с нулевыми членами нет, а данная строка состоит только из единиц – наименьших элементов матрицы:

+

Первый множитель каждого произведения есть элемент первой строки, второй множитель это коэффициент: , где i и j – номера строки и столбца, в которых расположен данный элемент. и второй множитель, так как i = 1 и j= 1. Минор для данного элемента определяется вычеркиванием первого столбца и первой строки. Остальные коэффициенты и миноры находятся аналогично:

Напомним, что произведение коэффициента и минора составляет алгебраическое дополнение каждого элемента строки (столбца) определителя , по которой производится разложение. Значение минора вычисляется как значение определителя третьего порядка.

Наиболее рациональным будет разложение второго определителя по четвертому столбцу, так как этот столбец содержит три нулевых элемента, которые при разложении можно не писать. Тогда разложение будет состоять только из двух слагаемых:

Первый из полученных определителей четвертого порядка раскладываем по третьей строке, а второй определитель – по второй строке.

Существенно упростить процесс вычисления определителей можно при помощи использования их свойств.