- •2.1.1. Основные понятия
- •Виды матриц
- •2.1.2. Операции над матрицами
- •Умножение матрицы на число
- •Сложение и вычитание матриц
- •Умножение матриц
- •Транспонирование матриц
- •2.1.3. Матричная запись систем линейных уравнений.
- •2.1.4. Определители
- •Свойства определителей:
- •2.1.5. Решение систем линейных уравнений различными методами
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера
- •Решение систем линейных уравнений с использованием обратной матрицы.
- •Задания для самоподготовки
- •Образец выполнения задания
- •Задание № 1. Сложение матриц.
- •Задание № 2. Умножение матрицы на число
- •Задание № 3. Транспонирование матрицы
- •Задание № 4. Умножение матриц
- •Задание № 5. Вычисление определителя матрицы
- •Задание № 6. Вычисление обратной матрицы
- •Задание № 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •Индивидуальные задания для практической работы
- •3.1.1. Окружность
- •3.1.2. Эллипс
- •3.1.3. Гипербола
- •3.1.4. Парабола
- •Задания для самоподготовки
- •3.3. Образец выполнения задания
- •Задание № 1. Выбор диапазона данных и построение таблицы значений.
- •3.4. Индивидуальные задания для практической работы
- •Основные понятия
- •Цилиндрические поверхности
- •Свойства поверхностей второго порядка
- •Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •4.2. Задания для самоподготовки
- •4.3. Образец выполнения задания
- •4.4. Индивидуальные задания для практической работы
- •Литература
- •Учебное издание
- •400005, Г. Волгоград, пр.Ленина, 78.
Цилиндрические поверхности
Определение. Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, описанная бесконечной прямой (образующей), которая движется, оставаясь все время параллельной данной прямой и пересекая данную кривую (направляющую).
Мы будем рассматривать только такие цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из координатных осей, а направляющей является плоская кривая, лежащая в одной из координатных плоскостей.
Уравнения таких цилиндрических поверхностей содержат только две переменные величины. В них будет отсутствовать переменная, одноименная с той координатной осью, которой параллельны образующие цилиндрической поверхности.
Так, всякое уравнение вида:
или , содержащее только две переменные х и у, определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны координатной оси Oz, а направляющая лежит в плоскости хОу, причем ее уравнение есть одно из данных уравнений. Всякое уравнение вида
или , содержащее только две переменные х и z и не содержащее переменной у, определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны оси Оу, а направляющей является линия, лежащая в плоскости xOz и имеющая своим уравнением одно из данных уравнений.
Точно так же всякое уравнение вида:
или , содержащее только две переменные у и z и не содержащее переменной х, определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны оси Ох, а направляющей служит линия, лежащая в плоскости yOz и имеющая своим уравнением одно из данных уравнений.
Пример. Какую поверхность определяет уравнение ?
Решение. Данное уравнение содержит только две переменные х и у и определяет в пространстве на основании уравнений вида цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны оси Oz, а направляющей служит окружность , лежащая в плоскости хОу. Приводим более подробные разъяснения полученного заключения. В плоскости хОу данное уравнение определяет окружность радиуса r с центром в начале координат. Пусть эта окружность является направляющей цилиндра, а его образующие параллельны оси Oz. Возьмем на цилиндре любую точку А с координатами и спроектируем ее на плоскость хОу. Ее проекция — точка В с координатами находится на окружности, которая служит направляющей, а потому координаты х и у точки В удовлетворяют уравнению окружности .
рис. 39. |
Но так как абсцисса и ордината точки на цилиндрической поверхности такие же, как абсцисса и ордината точки на окружности, то, учитывая, что уравнение окружности не содержит переменной r, можно сказать, что этому уравнению удовлетворяют и координаты любой точки , лежащей на цилиндре.
|
Таким образом, данное уравнение определяет в пространстве прямой круговой цилиндр, изображенный на рис. 39, у которого образующие параллельны оси Oz, а направляющей служит эта окружность, лежащая в плоскости хОу.
Пример. Какую поверхность определяет уравнение
Решение. Данное уравнение содержит только две переменные х и у и на основании этого определяет в пространстве цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Oz, а изображение аналогично изображению, приведенному на рис. 39, с той только разницей, что направляющей является эллипс. Такой цилиндр называется эллиптическим. К этому же выводу можно прийти, повторяя рассуждения предыдущей задачи.