Эквивалентные бесконечно малые функции
Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть
и
есть б.м.ф. при
,
т. е.
и
.
1. Если
,
то
и
называются бесконечно
малыми одного порядка.
2. Если
,
то
называется бесконечно
малой более высокого порядка,
чем .
3. Если
,
то
называется бесконечно
малой более низкого порядка,
чем .
4. Если
не существует,
то
и
называются несравнимыми
бесконечно малыми.
Отметим, что таковы
же правила сравнения б.м.ф. при
,
.
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
Если
,
то
и
называются эквивалентными
бесконечно малыми
при
;
это
обозначается так: ~.
Например,
при
,
так как
;
при
,
так как
.
Теорема 1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Теорема 2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. и есть бесконечно малая высшего порядка, чем или , то и - эквивалентные бесконечно малые.
Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.
Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.
Ниже приведены
важнейшие
эквивалентности, которые
используют при вычислении пределов
при
:
|
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Приближенные вычисления
Если
,
то, отбрасывая в равенстве
бесконечно малую более высокого порядка,
т.е.
),
получим равенство
.
Оно позволяет выражать одни бесконечно
малые через другие. Приведенные выше
эквивалентности служат источником ряда
приближенных формул. Приведенные формулы
справедливы при малых
,
и они тем точнее, чем меньше
.
Например, графики
функций
и
в окрестности точки 0 практически не
различимы (рис.1), а кривая
в окрестности точки 0 сливается с прямой
(рис.2).
Рис.1 Рис.2
На рис.3-5 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.
Рис.3 Рис.4
Рис.5
Пример. Найти
приближенное значение для
.
Решение:
.
Для сравнения результата по таблице
логарифмов находим, что
.
1 Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) –выдающийся немецкий математик, «отец» современного математического анализа.
2 Эйлер Леонард (1707-1783) – математик, механик и физик.
3 Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) –выдающийся немецкий математик, «отец» современного математического анализа. Ему принадлежит точное определение непрерывности функции.
4 Больцано Бернард (1781-1848) – чешский математик, философ, геолог.
5 Коши́ Огюсте́н Луи́ (1789 - 1857) – французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики.