Основные теоремы о пределах

Пусть и - функции, для которых существуют пределы при (): , .

Сформулируем основные теоремы о пределах.

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. .

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций .

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела .

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю): .

5. Если , то предел сложной функции .

6. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то .

Замечание: В теоремах о пределах предполагается существование пределов функций и , из чего следуют заключения о значениях пределов суммы, произведения или частного функций. Но из существования предела суммы, произведения или частного функций еще не следует, что существуют пределы самих слагаемых, сомножителей или делимого и делителя.

Например, , но отсюда еще не следует существование пределов и . В данном случае первого из этих пределов не существует.

Признаки существования предела

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция при предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема (о пределе промежуточной функции). Если функция заключена между двумя функциями и , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если , , то .

Теорема (о пределе монотонной функции). Если функция монотонна и ограничена при или при , то существует соответственно ее левый предел или ее правый предел .

Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов

Первым замечательным пределом называется предел функции в точке , т.е.

. (6)

Числом е (или вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности

(7)

Функция при и при (где в отличие от натурального числа «пробегает» все значения числовой оси – не только целые) также имеет предел равный е, т.е.

(8)

Полагая , находим ; при .

В результате получается еще одна запись числа е:

(9)

Число , (число Эйлера², неперово число) играет весьма важную роль в математическом анализе. К числу приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад банка составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно годовых. Необходимо найти размер вклада через лет.

При использовании простых процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину , т.е. . На практике значительно чаще применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число раз, т.е. .

Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а раз, то при том же ежегодном приросте процент начисления за -ю часть года составит , а размер вклада за лет при начислениях составит

(10)

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (), ежеквартально (), ежемесячно (), каждый день (), каждый час ) и т.д., непрерывно (). Тогда размер вклада за лет составит

. (11)

Формула (11) выражает показательный (экспоненциальный) закон роста вклада (при ) или убывания (при ). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов.

Пример. Чтобы почувствовать результаты расчетов в зависимости от способа начисления процентов, в таблице в качестве примера приведем размеры вкладов , ден.ед., вычисленные при ден.ед., , лет.

Первоначальный вклад	Формула простых процентов	Формула сложных процентов					Формула непрерывного начисления процентов
1,000	2,0000	2,6355	2,6851	2,7015	2,7126	2,7181	2,7182

Из приведенных в таблице данных следует, что погрешность вычисления суммы вклада по формуле (11) непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой (10) сложных процентов, начисляемых ежегодно (), при одной и той же процентной ставке () оказалась незначительной (около 2,5%).