Бесконечно малые величины

Определение. Функция называется бесконечно малой величиной (б.м.в.), или, просто, бесконечно малой, при или при , если ее предел равен нулю:

.

Например, функции при и при есть бесконечно малые величины, ибо их пределы равны нулю.

Не следует путать бесконечно малую переменную величину с очень малым, но постоянным числом , ибо по мере приближения значений к (при ) или по мере увеличения по модулю значений (при ) функция окажется меньше этого числа (по абсолютной величине).

Теорема (о связи бесконечно малых величин с пределами функций). Если функция имеет при () предел, равный , то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины при ()

. (4)

Верна и обратная теорема.

Теорема. Если функцию можно представить как сумму числа и бесконечно малой величины при (), то число есть предел этой функции при (), т.е. .

Свойства бесконечно малых величин

1⁰. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2⁰. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.

3⁰.Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Пусть, например, , есть бесконечно малые при ; функция есть функция, ограниченная при (точнее, ограничена в любом промежутке, а не только в окрестности точки , так как ). Функция при имеет предел (-1), не равный нулю.

Тогда, (по свойству 1⁰), , , (по свойству 2⁰), (по свойству 3⁰) есть величины бесконечно малые при .

Замечание: Свойство 3⁰ не рассматривает предел отношения двух бесконечно малых из-за его неопределенности. Этот предел может быть равен нулю, числу , символу . При этом б.м.в. называется соответственно бесконечно малой более высокого порядка малости, чем , одного порядка малости, более низкого порядка малости, чем . Тот факт, что есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем записывается следующим образом: при ().

Если , то бесконечно малые величины и при () называются эквивалентными; в этом случае пишут ~.

Если предел отношения двух бесконечно малых величин конечный или бесконечный, то он не изменится, если эти бесконечно малые заменить их эквивалентными:

, (5)

если , при ().

Бесконечно большие величины

Определение. Функция называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) при , если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число (зависящее от , ), что для х, неравных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Записывают или при .

С помощью логических символов это определение можно представить в виде

.

Если стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то .

Функция , заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при , если для любого числа М > 0 найдется такое число , что при всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . В краткой форме .

Так, например, функции при , при являются бесконечно большими.

Не следует путать бесконечно большую переменную величину с очень большим, но постоянным числом , ибо по мере приближения значений к или по мере увеличения по модулю () функция превзойдет это число (по абсолютной величине).

Замечание: Следует иметь ввиду, что бесконечно большая величина есть функция неограниченная при (). В то же время неограниченная функция не обязательно бесконечно большая.

Например, функция является неограниченной (ее значения могут быть как угодно большими), но не бесконечно большой при , так как с ростом функция все время колеблется, переходя от положительных к отрицательным значениям (и наоборот) и обращаясь в нуль при сколь угодно больших значениях .

Свойства бесконечно больших величин

1⁰. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2⁰. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3⁰. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Например, если функция - б.б.в. при , функция при имеет предел равный , отличный от нуля, а функция - ограниченная, то функции (по свойству 1⁰), (по свойству 2⁰), (по свойству 3⁰) являются бесконечно большими при .

Теорема (о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами). Если функция - б.м.в. при (), то функция является б.б.в. при (). И наоборот, если функция - б.б.в. при (), то функция есть величина б.м. при ().

Например, если функции при и при есть величины бесконечно малые, то функции при и при есть величины бесконечно большие.

И наоборот, если функции при и при есть величины бесконечно малые.